每日一题[3067]双曲抛物

如图，$F_1(-c, 0),F_2(c, 0)$ 为双曲线 $C_1:~ \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点，抛物线 $C_2$ 的顶点为坐标原点，焦点为 $F_2$，设 $C_1$ 与 $C_2$ 在第一象限的交点为 $P(m, n)$，且 $\left|P F_1\right|=7$，$\left|P F_2\right|=5$，$\angle P F_2 F_1$ 为钝角．

1、求双曲线 $C_1$ 与抛物线 $C_2$ 的方程．

2、过 $F_2$ 作不垂直于 $x$ 轴的直线 $l$，依次交 $C_1$ 的右支、$C_2$ 于 $A,B,C,D$ 四点，设 $M$ 为 $A D$ 中点，$N$ 为 $B C$ 中点，试探究 $\dfrac{|A D| \cdot\left|N F_2\right|}{|B C| \cdot\left|M F_2\right|}$ 是否为定值．若是，求此定值；若不是，请说明理由．

解析

1、设抛物线的方程为 $y^2=4cx$，则

$$|PF_2|=m+c\implies m+c=5,$$ 从而 $P\left(5-c,\sqrt{4c(5-c)}\right)$，又 $$|PF_1|-|PF_2|=2a\implies a=1,$$ 从而 $$\dfrac{(5-c)^2}{1^2}-\dfrac{4c(5-c)}{c^2-1}=1\implies c=2,$$ 进而可得双曲线方程为 $x^2-\dfrac{y^2}3=1$，抛物线方程为 $y^2=8x$．

2、设直线 $l:~x=ny+2$，点 $A,D,B,C$ 的纵坐标分别为 $y_1,y_2,y_3,y_4$，分别联立直线 $l$ 与双曲线 $C_1$ 以及抛物线 $C_2$ 的方程，有

$$\begin{cases} x=ny+2,\\ x^2-\dfrac{y^2}3=1,\end{cases}\implies (3n^2-1)y^2+12ny+9=0,$$ 而 $$\begin{cases} x=ny+2,\\ y^2=8x,\end{cases}\implies y^2-8ny-16=0,$$ 因此 $$\begin{split} \dfrac{|AD|\cdot |NF_2|}{|BC|\cdot |MF_2|}&=\dfrac{|y_1-y_2|}{|y_3-y_4|}\cdot \dfrac{|y_3+y_4|}{|y_1+y_2|}\\ &=\dfrac{|y_1-y_2|}{|y_1+y_2|}\cdot \dfrac{|y_3-y_4|}{|y_3+y_4|}\\ &=\dfrac{\sqrt{(12n)^2-4\cdot 9\cdot (3n^2-1)}}{|12n|}\cdot \dfrac{\sqrt{(-8n)^2-4\cdot (-16)\cdot 1}}{|-8n|}\\ &=\dfrac 12,\end{split}$$ 为定值．