已知点 $F(1,0)$,$ P$ 为平面内一动点,以 $P F$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切,点 $P$ 的轨迹记为 $C$.
1、求 $C$ 的方程.
2、 过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点,过点 $A$ 且垂直于 $l$ 的直线交 $x$ 轴于点 $M$,过点 $B$ 且垂直于 $l$ 的直线交 $x$ 轴于点 $N$.当四边形 $M A N B$ 的面积最小时,求 $l$ 的方程.
解析
1、设 $P(x,y)$,以 $PF$ 为直径的圆的圆心坐标为 $\left(\dfrac{x+1}2,\dfrac y2\right)$,半径为 $\dfrac 12\sqrt{(x-1)^2+y^2}$,该圆与 $y$ 轴相切,于是\[\left|\dfrac{x+1}2\right|=\dfrac 12\sqrt{(x-1)^2+y^2},\]整理可得所求 $C$ 的方程为 $y^2=4x$.
2、根据题意,设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$,则有\[|MN|=\dfrac{|AB|}{|\cos\theta|},\quad |AB|=\dfrac{4}{\sin^2\theta},\]于是四边形 $MANB$ 的面积\[\begin{split} [MANB]&=\dfrac 12\cdot |AB|\cdot |MN|\cdot\sin\theta\\ &=\dfrac{|AB|^2\cdot \sin\theta}{2|\cos\theta|}\\ &=\dfrac{2}{\sin^3\theta\cos\theta}\\ &=\dfrac{2\sqrt 3}{\sqrt{\sin^6\theta\cdot (3-3\sin^2\theta)}}\\ &\geqslant \dfrac{32\sqrt 3}{9} ,\end{split}\]等号当 $\sin^2\theta=3-3\sin^2\theta$ 即 $\sin\theta=\dfrac{\sqrt 3}2$ 时取得,因此所求 $l$ 的方程为 $\sqrt 3x\pm y-\sqrt 3=0$.