每日一题[3064]角度参数

已知点 $F(1,0)$，$P$ 为平面内一动点，以 $P F$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切，点 $P$ 的轨迹记为 $C$．

1、求 $C$ 的方程．

2、 过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，过点 $A$ 且垂直于 $l$ 的直线交 $x$ 轴于点 $M$，过点 $B$ 且垂直于 $l$ 的直线交 $x$ 轴于点 $N$．当四边形 $M A N B$ 的面积最小时，求 $l$ 的方程．

解析

1、设 $P(x,y)$，以 $PF$ 为直径的圆的圆心坐标为 $\left(\dfrac{x+1}2,\dfrac y2\right)$，半径为 $\dfrac 12\sqrt{(x-1)^2+y^2}$，该圆与 $y$ 轴相切，于是 $$\left|\dfrac{x+1}2\right|=\dfrac 12\sqrt{(x-1)^2+y^2},$$ 整理可得所求 $C$ 的方程为 $y^2=4x$．

2、根据题意，设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，则有 $$|MN|=\dfrac{|AB|}{|\cos\theta|},\quad |AB|=\dfrac{4}{\sin^2\theta},$$ 于是四边形 $MANB$ 的面积 $$\begin{split} [MANB]&=\dfrac 12\cdot |AB|\cdot |MN|\cdot\sin\theta\\ &=\dfrac{|AB|^2\cdot \sin\theta}{2|\cos\theta|}\\ &=\dfrac{2}{\sin^3\theta\cos\theta}\\ &=\dfrac{2\sqrt 3}{\sqrt{\sin^6\theta\cdot (3-3\sin^2\theta)}}\\ &\geqslant \dfrac{32\sqrt 3}{9} ,\end{split}$$ 等号当 $\sin^2\theta=3-3\sin^2\theta$ 即 $\sin\theta=\dfrac{\sqrt 3}2$ 时取得，因此所求 $l$ 的方程为 $\sqrt 3x\pm y-\sqrt 3=0$．