每日一题[3062]放缩与零点估计

已知函数 $f(x)=\ln x-\dfrac ax$，$a\in\mathbb R$．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

2、当 $-\dfrac 14<a<0$ 时，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$），求证：$\sqrt{1+4a}<x_2-x_1<1+a$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{x+a}{x^2},$$ 于是当 $a\geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增；当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,-a)$ 上单调递减，在 $(-a,+\infty)$ 上单调递增．

2、当 $-\dfrac 14<a<0$ 时，注意到 $f(1)=-a>0$，于是

$$0<x_1<-a<x_2<1,$$ 由于当 $x\in (0,1)$ 时，有 $1-\dfrac 1x<\ln x<x-1$，从而 $$\dfrac{x-(1+a)}{x}=\left(1-\dfrac 1x\right)-\dfrac ax<f(x)<(x-1)-\dfrac ax=\dfrac{x^2-x-a}{x},$$ 如图．

·

因此

$$0<x_1<\dfrac{1-\sqrt{1+4a}}2<-a<\dfrac 12<\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}2<x_2<1+a,$$ 进而命题得证．