每日一题[3059]奇偶交替

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，$f(x+1)$ 为奇函数，$f(x+2)$ 为偶函数．记函数 $g(x)=2 f(2 x+1)+1$，则 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{31} g\left(\dfrac{{k}}{2}\right)=$ （       ）

A．$25$

B．$27$

C．$29$

D．$31$

答案    D．

解析    根据题意，有

$$\begin{cases} f(x+1)+f(-x+1)=0,\\ f(x+2)=f(-x+2),\end{cases}$$ 因此自变量和为 $2$ 时函数值互为相反数；自变量和为 $4$ 时函数值相等，进而函数 $f(x)$ 有周期为 $4$，且 $$f(1)=f(3)=0,\quad f(0)+f(2)=0,$$ 所以 $$\begin{split} \sum\limits_{k=1}^{31} g\left(\dfrac{{k}}{2}\right)&=\sum\limits_{k=1}^{31} \left(2f(k+1)+1\right)\\ &=31+2\sum_{k=2}^{32}f(k)\\ &=31+2\cdot \left((f(0)+f(1)+f(2)+f(3))\cdot 8-f(1)\right)\\ &=31.\end{split}$$