每日一题[3058]累次求最值

若对任意 $m, n \in \mathbb{R}$，关于 $x$ 的不等式 $m-n \leqslant(x-m)^{2}+\mathrm{e}^{x-n}-a$ 恒成立，则实数 $a$ 的最大值为_______．

答案    $\dfrac34$．

解析    根据题意，$a$ 的最大值为函数 $$f(m,n,x)=(x-m)^2+{\rm e}^{x-n}+n-m$$ 的最大值．而 $$\begin{split} f(m,n,x)&=m^2-(2x+1)m+x^2+{\rm e}^{x-n}+n\\ &\geqslant -\dfrac{(2x+1)^2}4+x^2+{\rm e}^{x-n}+n\\ &=-\dfrac 14+{\rm e}^{x-n}-(x-n)\\ &\geqslant -\dfrac 14 +1\\ &=\dfrac 34, \end{split}$$ 等号当 $m=\dfrac{2x+1}2$ 且 $x-n=0$ 时即 $(m,n,x)=\left(x+\dfrac 12,x,x\right)$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac 34$．