每日一题[3056]进阶放缩

已知函数 $f(x)=\ln (x+1)-\dfrac{ax}{x+2}$．

1、若 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\geqslant 0$，求实数 $a$ 的取值范围．

2、试讨论 $f(x)$ 的零点个数．

解析   

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{(4-2a)+(4-2a)x+x^2}{(1+x)(2+x)^2}=\dfrac{(4-2a)(1+x)+x^2}{(1+x)(2+x)^2},$$ 因此讨论分界点为 $a=2$．

情形一    $a\leqslant 2$．此时在 $(-1,+\infty)$ 上有 $f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，结合 $f(0)=0$，可得当 $x\geqslant 0$ 时，有 $$f(x)\geqslant f(0)=0,$$ 符合题意．

情形二     $a>2$．此时在 $x\in\left(0,\sqrt{2a-4}\right)$ 上有 $$(4-2a)(1+x)+x^2<(4-2a)+x^2<0,$$ 因此 $f(x)$ 在该区间上单调递减，而 $f(0)=0$，因此在该区间上有 $f(x)<0$，不符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,2]$．

2、根据第 $(1)$ 小题的结论，当 $a\leqslant 2$ 时，$f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增，零点个数为 $1$； 当 $a>2$ 时，$f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，为方程 $$(4-2a)+(4-2a)x+x^2=0$$ 的两个实数解，设 $-1<x_1<0<x_2$，则函数 $f(x)$ 在 $(-1,x_1)$ 上单调递增，在 $(x_1,x_2)$ 上单调递减，在 $(x_2,+\infty)$ 上单调递增．由于 $f(0)=0$，可得 $f(x_1)>0>f(x_2)$，又 $$\ln(x+1)-a<\ln(x+1)-\dfrac{ax}{x+2}<\ln (x+1)+a,$$ 因此 $f\left({\rm e}^a-1\right)>0$，$f\left({\rm e}^{-a}-1\right)<0$，从而函数 $f(x)$ 有 $3$ 个零点． 综上所述，$f(x)$ 的零点个数为 $\begin{cases} 1,&a\leqslant 2,\\ 3,&a>2.\end{cases}$．