每日一题[3054]三次函数

已知函数 f(x)=x(x3)2,若存在 a<b<c 满足 f(a)=f(b)=f(c)g(x)=f(x)+m,下列结论正确的是(       )

A.若 g(a)=g(b)=g(c)=0,则 m(4,0)

B.a+b+c=9

C.abc(0,4)

D.a+b(2,3)

答案    

解析    利用三次函数的图像特点画出函数 f(x) 的图像,如图.

对于选项 Ax=a,b,c 是函数 f(x) 的图像与直线 y=m 的公共点横坐标,因此 0<m<4,选项正确;

对于选项 B,设 f(a)=(b)=f(c)=t,则 x=a,b,c 是方程x(x3)2=tx36x2+9xt=0,根据三次方程的韦达定理,有a+b+c=6,选项错误;

对于选项 C,根据三次方程的韦达定理,有 abc=t(0,4),选项正确;

对于选项 D,由于 a+b=6c,而 c 的取值范围是 (3,4),因此 a+b(2,3),选项正确.

综上所述,选项 A C D 正确.

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