已知函数 f(x)=x(x−3)2,若存在 a<b<c 满足 f(a)=f(b)=f(c),g(x)=f(x)+m,下列结论正确的是( )
A.若 g(a)=g(b)=g(c)=0,则 m∈(−4,0)
B.a+b+c=9
C.abc∈(0,4)
D.a+b∈(2,3)
答案
解析 利用三次函数的图像特点画出函数 f(x) 的图像,如图.
对于选项 A,x=a,b,c 是函数 f(x) 的图像与直线 y=−m 的公共点横坐标,因此 0<−m<4,选项正确;
对于选项 B,设 f(a)=(b)=f(c)=t,则 x=a,b,c 是方程x(x−3)2=t⟺x3−6x2+9x−t=0,根据三次方程的韦达定理,有a+b+c=6,选项错误;
对于选项 C,根据三次方程的韦达定理,有 abc=t∈(0,4),选项正确;
对于选项 D,由于 a+b=6−c,而 c 的取值范围是 (3,4),因此 a+b∈(2,3),选项正确.
综上所述,选项 A C D 正确.