每日一题[3054]三次函数

已知函数 $f(x)=x(x-3)^{2}$，若存在 $a<b<c$ 满足 $f(a)=f(b)=f(c)$，$g(x)=f(x)+m$，下列结论正确的是（       ）

A．若 $g(a)=g(b)=g(c)=0$，则 $m \in(-4,0)$

B．$a+b+c=9$

C．$a b c \in(0,4)$

D．$a+b\in (2,3)$

答案    

解析    利用三次函数的图像特点画出函数 $f(x)$ 的图像，如图．

对于选项 $\boxed{A}$，$x=a,b,c$ 是函数 $f(x)$ 的图像与直线 $y=-m$ 的公共点横坐标，因此 $0<-m<4$，选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$，设 $f(a)=(b)=f(c)=t$，则 $x=a,b,c$ 是方程

$$x(x-3)^2=t\iff x^3-6x^2+9x-t=0,$$ 根据三次方程的韦达定理，有 $$a+b+c=6,$$ 选项错误；

对于选项 $\boxed{C}$，根据三次方程的韦达定理，有 $abc=t\in (0,4)$，选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，由于 $a+b=6-c$，而 $c$ 的取值范围是 $(3,4)$，因此 $a+b\in (2,3)$，选项正确．

综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$ 正确．