每日一题[3052]平移化齐次

已知双曲线 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>0$，$b>0$）过 $P_{1}(2,0)$，$P_{2}(0,4)$，$P_{3}(-2 \sqrt{10}, 3)$，$P_{4}(2 \sqrt{10},3)$ 四个点中的三个点．

1、求双曲线 $C$ 的方程．

2、若直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $P_{1} A \perp P_{1} B$，求证：直线 $l$ 经过一个不在双曲线 $C$ 上的定点，并求出该定点的坐标．

解析

1、根据双曲线的对称性可知 $P_3(-2 \sqrt{10}, 3), P_4(2 \sqrt{10}, 3)$ 关与 $y$ 轴对称，所以 $P_3, P_4$ 必同时在双曲双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上，则双曲线还经过点 $P_1(2,0)$，则 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，将点 $P_3(-2 \sqrt{10}, 3)$ 代入，可得 $b^2=1$，所以双曲线 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{4}-y^2=1$．

2、将坐标原点平移到 $P_1$，$x'=x-2$，$y'=y$，则双曲线方程变为

$$\dfrac{(x'+2)^2}4-y'^2=1\iff \dfrac 14x'^2-y'^2+x'=0,$$ 设直线 $l':~mx'+ny'=1$，化齐次联立有 $$\dfrac14x'^2-y'^2+x'(mx'+ny')=0,$$ 根据题意，有 $$\dfrac14-1+m=0\implies m=\dfrac 34,$$ 因此直线 $l'$ 恒过新坐标系下的点 $\left(\dfrac 43,0\right)$，回到原坐标系，直线 $l$ 恒过定点 $\left(\dfrac{10}3,0\right)$（该点不在双曲线上），命题得证．