每日一题[3051]齐次转参

已知函数 $f(x)=(\ln x+1) x-m x^{2}+m$．

1、若 $f(x)$ 单调递减，求 $m$ 的取值范围．

2、若 $f^{\prime}(x)$ 的两个零点分别为 $a, b$，且 $2 a<b$，证明：$a b^{2}>\dfrac{32}{\mathrm{e}^{6}}$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\ln x-2mx+2,$$ 因此 $$\forall x>0,~\ln x-2mx+2\leqslant 0,$$ 即 $$\forall x>0,~m\geqslant \dfrac{\ln x+2}{2x},$$ 设 $g(x)=\dfrac{\ln x+2}{2x}$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{-\ln x-1}{2x^2},$$ 于是函数 $g(x)$ 的最大值为 $$g\left({\rm e}^{-1}\right)=\dfrac{\rm e}2,$$ 从而 $m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{{\rm e}}2,+\infty\right)$．

2、根据题意，有

$$\begin{cases} \ln a-2ma+2=0,\\ \ln b-2mb+2=0,\end{cases}\implies \begin{cases} \ln a=2ma-2,\\ \ln b=2mb-2,\end{cases}$$ 于是 $$ab^2>\dfrac{32}{{\rm e}^6}\iff \ln a+2\ln b>5\ln 2-6\iff 2ma+4mb>5\ln 2,$$ 令 $\dfrac ba=t$，则 $$2ma=\dfrac{\ln t}{t-1},\quad 2mb=\dfrac{t\ln t}{t-1},$$ 因此欲证命题即 $$\forall t>2,~\dfrac{1+2t}{t-1}\ln t>5\ln 2,$$ 设 $h(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\ln x$，则 $h(2)=5\ln 2$，因此只需要证明 $h(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 上单调递增． 函数 $h(x)$ 的导函数 $$h'(x)=\dfrac{2x^2-x-1-3x\ln x}{x(x-1)^2},$$ 只需要证明 $$\forall x>2,~2x^2-x-1-3x\ln x>0,$$ 即 $$\forall x>2,~\ln x<\dfrac{(2x+1)(x-1)}{3x},$$ 根据对数的进阶放缩，当 $x>2$ 时，有 $$\ln x<\dfrac{(x+1)(x-1)}{2x}<\dfrac{(2x+1)(x-1)}{3x},$$ 命题得证．