每日一题[3047]极限论述

已知函数 $f(x)=a x^2+x-\mathrm{e}^x+1$，其中 $a \in \mathbb{R}$，$\mathrm{e}=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数．

1、若 $a=\dfrac{1}{2}$，证明：当 $x<0$ 时，$f(x)>0$；当 $x>0$ 时，$f(x)<0$．

2、设函数 $g(x)=\cos x-f(x)+1$，若 $x=0$ 是 $g(x)$ 的极大值点，求实数 $a$ 的取值范围． （参考数据：$\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{6}} \approx 0.59$，$\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{8}} \approx 0.46$）

解析

1、当 $a=\dfrac 12$ 时，有\[f(x)=1+x+\dfrac 12x^2-{\rm e}^x,\]设 $g(x)=\left(1+x+\dfrac 12x^2\right){\rm e}^{-x}$，则其导函数\[g'(x)=-\dfrac 12x^2{\rm e}^{-x},\]因此 $g(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减，进而当 $x<0$ 时，$g(x)<g(0)=1$；当 $x>0$ 时，$g(x)>g(0)=1$，命题得证．

2、函数 $g(x)=\cos x+{\rm e}^x-x-ax^2$，其导函数\[g'(x)=-\sin x+{\rm e}^x-1-2ax,\]于是 $g(0)=0$，而\[g''(x)=-\cos x+{\rm e}^x-2a,\]有 $g''(0)=-2a$，因此讨论分界点为 $a=0$．

情形一     $a>0$．此时有\[g''(x)\leqslant -(1-x^2)+\dfrac{1}{1-x}-2a=x^2+\dfrac x{1-x}-2a=\left(x^2-a\right)+\dfrac{(2a+1)x-2a}{1-x},\]因此在区间 $x\in\left(-\sqrt a,\dfrac{2a}{2a+1}\right)$ 上有 $g''(x)<0$，因此函数 $g(x)$ 在 $\left(-\sqrt a,0\right)$ 上单调递增，在 $\left(0,\dfrac{2a}{2a+1}\right)$ 上单调递减，在 $x=0$ 处取得极大值，符合题意．

情形二     $a\leqslant 0$．此时有\[g'''(x)=\sin x+{\rm e}^x\geqslant -|x|+(1-|x|)=1-2|x|,\]因此函数 $g''(x)$ 在 $\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right)$ 上单调递增，从而 $g'(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 12\right)$ 上单调递增，进而 $g(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 12\right)$ 上单调递增，与 $x=0$ 是函数 $g(x)$ 的极大值点不符．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(0,+\infty)$．