已知函数 f(x)=ax2+x−ex+1,其中 a∈R,e=2.71828⋯ 是自然对数的底数.
1、若 a=12,证明:当 x<0 时,f(x)>0;当 x>0 时,f(x)<0.
2、设函数 g(x)=cosx−f(x)+1,若 x=0 是 g(x) 的极大值点,求实数 a 的取值范围. (参考数据:e−π6≈0.59,e−π8≈0.46)
解析
1、当 a=12 时,有f(x)=1+x+12x2−ex,设 g(x)=(1+x+12x2)e−x,则其导函数g′(x)=−12x2e−x,因此 g(x) 在 R 上单调递减,进而当 x<0 时,g(x)<g(0)=1;当 x>0 时,g(x)>g(0)=1,命题得证.
2、函数 g(x)=cosx+ex−x−ax2,其导函数g′(x)=−sinx+ex−1−2ax,于是 g(0)=0,而g″(x)=−cosx+ex−2a,有 g″(0)=−2a,因此讨论分界点为 a=0.
情形一 a>0.此时有g''(x)\leqslant -(1-x^2)+\dfrac{1}{1-x}-2a=x^2+\dfrac x{1-x}-2a=\left(x^2-a\right)+\dfrac{(2a+1)x-2a}{1-x},因此在区间 x\in\left(-\sqrt a,\dfrac{2a}{2a+1}\right) 上有 g''(x)<0,因此函数 g(x) 在 \left(-\sqrt a,0\right) 上单调递增,在 \left(0,\dfrac{2a}{2a+1}\right) 上单调递减,在 x=0 处取得极大值,符合题意.
情形二 a\leqslant 0.此时有g'''(x)=\sin x+{\rm e}^x\geqslant -|x|+(1-|x|)=1-2|x|,因此函数 g''(x) 在 \left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right) 上单调递增,从而 g'(x) 在 \left(0,\dfrac 12\right) 上单调递增,进而 g(x) 在 \left(0,\dfrac 12\right) 上单调递增,与 x=0 是函数 g(x) 的极大值点不符.
综上所述,实数 a 的取值范围是 (0,+\infty).
感觉老师压中高考题了
g’(0)=0