每日一题[3047]极限论述

已知函数 f(x)=ax2+xex+1,其中 aRe=2.71828 是自然对数的底数.

1、若 a=12,证明:当 x<0 时,f(x)>0;当 x>0 时,f(x)<0

2、设函数 g(x)=cosxf(x)+1,若 x=0g(x) 的极大值点,求实数 a 的取值范围. (参考数据:eπ60.59eπ80.46

解析

1、当 a=12 时,有f(x)=1+x+12x2ex,g(x)=(1+x+12x2)ex,则其导函数g(x)=12x2ex,因此 g(x)R 上单调递减,进而当 x<0 时,g(x)<g(0)=1;当 x>0 时,g(x)>g(0)=1,命题得证.

2、函数 g(x)=cosx+exxax2,其导函数g(x)=sinx+ex12ax,于是 g(0)=0,而g(x)=cosx+ex2a,g(0)=2a,因此讨论分界点为 a=0

情形一     a>0.此时有g''(x)\leqslant -(1-x^2)+\dfrac{1}{1-x}-2a=x^2+\dfrac x{1-x}-2a=\left(x^2-a\right)+\dfrac{(2a+1)x-2a}{1-x},因此在区间 x\in\left(-\sqrt a,\dfrac{2a}{2a+1}\right) 上有 g''(x)<0,因此函数 g(x)\left(-\sqrt a,0\right) 上单调递增,在 \left(0,\dfrac{2a}{2a+1}\right) 上单调递减,在 x=0 处取得极大值,符合题意.

情形二     a\leqslant 0.此时有g'''(x)=\sin x+{\rm e}^x\geqslant -|x|+(1-|x|)=1-2|x|,因此函数 g''(x)\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right) 上单调递增,从而 g'(x)\left(0,\dfrac 12\right) 上单调递增,进而 g(x)\left(0,\dfrac 12\right) 上单调递增,与 x=0 是函数 g(x) 的极大值点不符.

综上所述,实数 a 的取值范围是 (0,+\infty)

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每日一题[3047]极限论述》有2条回应

  1. Avatar photo invisible说:

    感觉老师压中高考题了

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