已知函数 f(x)=ax2+x−ex+1,其中 a∈R,e=2.71828⋯ 是自然对数的底数.
1、若 a=12,证明:当 x<0 时,f(x)>0;当 x>0 时,f(x)<0.
2、设函数 g(x)=cosx−f(x)+1,若 x=0 是 g(x) 的极大值点,求实数 a 的取值范围. (参考数据:e−π6≈0.59,e−π8≈0.46)
解析
1、当 a=12 时,有f(x)=1+x+12x2−ex,设 g(x)=(1+x+12x2)e−x,则其导函数g′(x)=−12x2e−x,因此 g(x) 在 R 上单调递减,进而当 x<0 时,g(x)<g(0)=1;当 x>0 时,g(x)>g(0)=1,命题得证.
2、函数 g(x)=cosx+ex−x−ax2,其导函数g′(x)=−sinx+ex−1−2ax,于是 g(0)=0,而g″(x)=−cosx+ex−2a,有 g″(0)=−2a,因此讨论分界点为 a=0.
情形一 a>0.此时有g″(x)⩽−(1−x2)+11−x−2a=x2+x1−x−2a=(x2−a)+(2a+1)x−2a1−x,因此在区间 x∈(−√a,2a2a+1) 上有 g″(x)<0,因此函数 g(x) 在 (−√a,0) 上单调递增,在 (0,2a2a+1) 上单调递减,在 x=0 处取得极大值,符合题意.
情形二 a⩽0.此时有g‴(x)=sinx+ex⩾−|x|+(1−|x|)=1−2|x|,因此函数 g″(x) 在 (−12,12) 上单调递增,从而 g′(x) 在 (0,12) 上单调递增,进而 g(x) 在 (0,12) 上单调递增,与 x=0 是函数 g(x) 的极大值点不符.
综上所述,实数 a 的取值范围是 (0,+∞).
感觉老师压中高考题了
g’(0)=0