每日一题[3046]斜率参数

已知 A,B 分别是椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0)的左、右顶点,若椭圆 C 的短轴长等于焦距,且该椭圆经过点 (2,1)

1、求椭圆 C 的标准方程.

2、过椭圆 C 的右焦点 F 作一条直线交椭圆 CM,N(异于 A,B 两点)两点,连接 AM,AN 并延长,分别交直线 l:x=22 于不同的两点 P,Q.证明:直线 MQ 与直线 NP 相交于点 B

解析

1、根据题意,有{2b=2a2b2,(2)2a2+1b2=1,{a2=4,b2=2,

因此所求标准方程为 x24+y22=1

2、只需要证明 AMBN 的交点横坐标为 22,平移坐标系使 A 为原点,则椭圆方程为x24+y22x=0,

此时 MN:x2+2+y=1,化齐次联立可得直线 AM,AN 的斜率之积为定值1412+212=3222,
而直线 ANBN 的斜率之积为 12,于是直线 AM(即 AP)与 BN(即 BP 的斜率之比为 322,设 P 点横坐标为 t,则tt4=1322t=2+22,
回到原坐标系,命题得证.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复