已知 A,B 分别是椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点,若椭圆 C 的短轴长等于焦距,且该椭圆经过点 (−√2,1).
1、求椭圆 C 的标准方程.
2、过椭圆 C 的右焦点 F 作一条直线交椭圆 C 于 M,N(异于 A,B 两点)两点,连接 AM,AN 并延长,分别交直线 l:x=2√2 于不同的两点 P,Q.证明:直线 MQ 与直线 NP 相交于点 B.
解析
1、根据题意,有{2b=2√a2−b2,(−√2)2a2+1b2=1,⟺{a2=4,b2=2,
因此所求标准方程为 x24+y22=1.
2、只需要证明 AM 和 BN 的交点横坐标为 2√2,平移坐标系使 A 为原点,则椭圆方程为x24+y22−x=0,
此时 MN:x2+√2+y=1,化齐次联立可得直线 AM,AN 的斜率之积为定值14−12+√212=−3−2√22,
而直线 AN 与 BN 的斜率之积为 −12,于是直线 AM(即 AP)与 BN(即 BP 的斜率之比为 3−2√2,设 P 点横坐标为 t,则tt−4=13−2√2⟺t=2+2√2,
回到原坐标系,命题得证.