每日一题[3042]对称周期

己知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 定义域均为 $\mathbb{R}$，且 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，记 $g(x)=f^{\prime}(x)$，若 $f(3 x-2)+f(4-3 x)=f(3)$，$g(x)+g(4-x)=4$，则（       ）

A．$f(-1)=0$

B．$f(f(1))>f(0)$

C．$g(f(-1))<g(f(1))$

D．$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023} g(k)=4046$

答案    ABD．

解析    由 $f(3 x-2)+f(4-3 x)=f(3)$ 可得当自变量和为 $2$ 时，函数值之和为定值 $f(3)$，于是

$$f(3)+f(-1)=f(3)\implies f(-1)=0,$$ 选项 $\boxed{A}$ 正确． 由于 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，于是 $f(f(1))>f(0)$ 等价于 $f(1)>0$，而 $0=f(-1)$，因此选项 $\boxed{B}$ 正确． 根据之前的分析，函数 $f(x)$ 关于 $\left(1,\dfrac12f(3)\right)$ 对称，而由 $g(x)+g(4-x)=4$ 可得 $g(x)$ 关于 $(2,2)$ 对称，从而 $f(x)-2x$ 关于 $x=2$ 对称，于是 $$\dfrac 12f(3)=f(1),\quad f(1)-2=f(3)-6,$$ 从而 $f(1)=4$，$f(3)=8$．而 $g(x)$ 关于 $x=1$ 和 $(2,2)$ 对称，因此 $4$ 为 $g(x)$ 的周期，从而 $$g(f(-1))=g(0)=g(4)=g(f(1)),$$ 选项 $\boxed{C}$ 错误． 由 $g(x)$ 关于 $x=1$ 和 $(2,2)$ 对称，可得 $g(1)=0$，$g(2)=2$，进而 $g(3)=4$，$g(4)=g(0)=2$，因此 $$\sum_{k=1}^{2023} g(k)=g(1)+g(2)+g(3)+505\cdot (g(1)+g(2)+g(3)+g(4))=6+505\cdot 4046,$$ 选项 $\boxed{D}$ 正确．

综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$ 正确．