每日一题[3041]投影位置

在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{B_1P}=x\overrightarrow{B_1A}+y\overrightarrow{B_1C}+z\overrightarrow{B_1D_1}$，且 $x+y+z=1$，若二面角 $B_1-P D_1-C$ 的大小为 $\dfrac{\pi}{3}$，$O$ 为 $\triangle A C D_1$ 的中心，则 $\sin \angle P D_1 O=$（       ）

A．$\dfrac{\sqrt{3}}{6}$

B．$\dfrac{\sqrt{6}}{6}$

C．$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

D．$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

答案   D．

解析    根据题意，$P$ 在平面 $ACD_1$ 上，而 $\triangle ACD_1$ 是正三角形，设其中心为 $O$，则 $B_1-AD_1C$ 是正四面体，$B_1$ 在平面 $AD_1C$ 上的投影为 $O$，如图（不妨设 $P$ 在直线 $AC$ 上，由于 $B_1-AD_1C$ 小于 $\dfrac{\pi}3$，于是 $P$ 在 $CA$ 的延长线上）．作 $OH\perp PD_1$，则 $\angle B_1HO$ 为二面角 $B_1-PD_1-C$ 的平面角，为 $\dfrac{\pi}3$．

设正四面体 $B_1PD_1C$ 的棱长为 $3$，则 $B_1O=\sqrt 6$，进而 $OH=\sqrt 2$，而 $OD_1=\sqrt 3$，因此所求 $$\sin\angle PD_1O=\dfrac{OH}{OD_1}=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt 6}3.$$