每日一题[3039]三射线定理

在等腰梯形 $A B C D$ 中，$A D\parallel BC$，$A B=A D=C D=\dfrac{1}{2} B C$，$A C$ 交 $B D$ 于 $O$ 点，$\triangle A B D$ 沿着直线 $B D$ 翻折成 $\triangle A_1 B D$，所成二面角 $A_1-B D-C$ 的大小为 $\theta$，则下列选项中正确的是（       ）

A．$\angle A_1 B C \leqslant \theta$

B．$\angle A_1 O C \geqslant \theta$

C．$\angle A_1 D C \leqslant \theta$

D．$\angle A_1 B C+\angle A_1 D C \geqslant \theta$

答案    ABD．

解析    设 $BC$ 的中点为 $P$，则 $A_1$ 在底面 $ABCD$ 上的投影 $H$ 的轨迹为线段 $AP$，如图．

根据三射线定理，有

$$\cos\angle A_1BC=\cos\angle A_1BD\cos\angle DBC+\sin\angle A_1BD\sin\angle DBC\cos\theta=\dfrac 34+\dfrac14\cos\theta\geqslant \cos\theta,$$ 从而 $\angle A_1BC\leqslant \theta$，选项 $\boxed{A}$ 正确．

而

$$\cos\angle A_1OC=\cos\angle A_1OB\cos\angle BOC+\sin\angle A_1OB\sin\angle BOC\cos\theta=-\dfrac14+\dfrac 34\cos\theta\leqslant \cos\theta,$$ 从而 $\angle A_1OC\geqslant \theta$，选项 $\boxed{B}$ 正确．

而

$$\cos\angle A_1DC=\cos\angle A_1DB\cos\angle BDC+\sin\angle A_1DB\sin\angle BDC\cos\theta=\dfrac12\cos\theta,$$ 因此当 $0^\circ\leqslant \theta<90^\circ$ 时，$\angle A_1DC>\theta$；当 $\theta=90^\circ$ 时，$\angle A_1DC=\theta$；当 $90^\circ< \theta \leqslant 180^\circ$ 时，$\angle A_1DC<\theta$，选项 $\boxed{C}$ 错误．

对于选项 $\boxed{D}$，若 $\theta\leqslant 90^\circ$，则 $\angle A_1DC\geqslant \theta$，命题成立；若 $\theta>90^\circ$，考虑到

$$f(x)=\arccos\dfrac{3+\cos x }4,\quad g(x)=\arccos\dfrac{\cos x}2,$$ 均为上凸函数，于是 $h(x)=f(x)+g(x)-x$ 为上凸函数，而 $$h\left(\dfrac{\pi}2\right)=\arccos\dfrac 34>0,\quad h(\pi)=0,$$ 因此 $h(x)\geqslant 0$，命题成立．（也可以证明 $\beta\geqslant \dfrac{\theta+\pi}3$，$\alpha\geqslant \dfrac{2\theta-\pi}3$）

综上所述，正确的选项是 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．