每日一题[3037]方寸之间

数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $4$，则下列结论正确的是（       ）

A．若 $P, Q$ 是勒洛四面体 $A B C D$ 表面上的任意两点，则 $P Q$ 的最大值是 $4$

B．勒洛四面体 $A B C D$ 被平面 $A B C$ 截得的截面面积是 $8(\pi-\sqrt{3})$

C．勒洛四面体 $A B C D$ 的体积是 $8 \sqrt{6} \pi$

D．勒洛四面体 $A B C D$ 内切球的半径是 $4-\sqrt{6}$

答案    ABD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，不妨设 $P$ 在曲面 $BCD$ 上，在曲面 $BCD$ 上作点 $T$，使 $AT\perp PQ$，过 $T$ 作平面 $\alpha$ 与曲面 $BCD$ 相切于点 $T$，过 $A$ 作平面 $\beta\parallel \alpha$，则勒洛四面体在平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 之间，因此 $PQ\leqslant AT=4$（等号当 $P=T$ 时取得），选项正确．

对于选项 $\boxed{B}$，所求面积面积为以 $A$ 为圆心，圆心角为 $60^\circ$，半径为 $4$ 的扇形的 $3$ 倍，减去 $\triangle ABC$ 面积的 $2$ 倍，为

$$\left(\dfrac 12\cdot \dfrac{\pi}3\cdot 4^2\right)\cdot 3-\left(\dfrac{\sqrt 3}4\cdot 4^2\right)\cdot 2=8\left(\pi-\sqrt 3\right),$$ 选项正确；

对于选项 $\boxed{C}$，正四面体 $ABCD$ 的外接球半径为 $\sqrt 6$，对应的体积为 $8\sqrt 6\pi$，而勒洛四面体 $A B C D$ 在正四面体 $ABCD$ 的外接球的内部（包含边界），因此体积小于 $8\sqrt 6\pi$，选项错误．

对于选项 $\boxed{D}$，勒洛四面体 $A B C D$ 内切球的球心为正四面体 $ABCD$ 的中心 $O$，又 $OD=\sqrt 6$，于是内切球半径为 $4-\sqrt 6$，选项正确．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．