每日一题[3036]追踪轨迹

RtABC 中,B=π2AC=2BC=4D 为线段 AC 的中点,如图,将 ABD 沿 BD 翻折,得到三棱锥 PBCD(点 P 为点 A 翻折到的位置),在翻折过程中,下列说法正确的是(       )

A.PBD 的外接圆半径为 2

B.存在某一位置,使得 PDBD

C.存在某一位置,使得 PBCD

D.若 PDDC,则此时三棱锥 PBCD 的外接球的体积为 323π

答案    AD.

解析    对于选项 APBD 的外接圆半径与 ABP 的外接圆半径相同,为12ABsinADB=1223sin120=2,选项正确; 对于选项 B 和选项 D,如图,设 A 关于 BD 的对称点为 A1,则 P 点在底面 ABC 的投影 Q 轨迹为线段 AA1(不包含端点),此时 PDBDPBCD 分别等价于 QDBDQBCD,均不可能(对于后者,当 Q=A1 时有 BQCD,但线段端点无法取得),如图.

对于选项 D,过 DDC 的垂线交 AA1G,则 GP 在底面 ABC 上的投影.设三棱锥 PBCD 的外接球球心为 O 半径为 R,在 O 在底面 ABC 上的投影为 BCD 的中心 O1,则 O1B=23O1G=BD=2,且PG=PH2HG2=313=263,从而R2=O1O2+O1B2=(PGO1O)2+O1G2,解得 O1O=263R=2,从而所求外接球的体积为 4πR33=323π,选项正确.

综上所述,选项 A D 正确.

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