在 Rt△ABC 中,B=π2,AC=2BC=4,D 为线段 AC 的中点,如图,将 △ABD 沿 BD 翻折,得到三棱锥 P−BCD(点 P 为点 A 翻折到的位置),在翻折过程中,下列说法正确的是( )
A.△PBD 的外接圆半径为 2
B.存在某一位置,使得 PD⊥BD
C.存在某一位置,使得 PB⊥CD
D.若 PD⊥DC,则此时三棱锥 P−BCD 的外接球的体积为 323π
答案 AD.
解析 对于选项 A,△PBD 的外接圆半径与 △ABP 的外接圆半径相同,为12⋅ABsinADB=12⋅2√3sin120∘=2,选项正确; 对于选项 B 和选项 D,如图,设 A 关于 BD 的对称点为 A1,则 P 点在底面 ABC 的投影 Q 轨迹为线段 AA1(不包含端点),此时 PD⊥BD 和 PB⊥CD 分别等价于 QD⊥BD 和 QB⊥CD,均不可能(对于后者,当 Q=A1 时有 BQ⊥CD,但线段端点无法取得),如图.
对于选项 D,过 D 作 DC 的垂线交 AA1 于 G,则 G 为 P 在底面 ABC 上的投影.设三棱锥 P−BCD 的外接球球心为 O 半径为 R,在 O 在底面 ABC 上的投影为 △BCD 的中心 O1,则 O1B=2√3,O1G=BD=2,且PG=√PH2−HG2=√3−13=2√63,从而R2=O1O2+O1B2=(PG−O1O)2+O1G2,解得 O1O=2√63,R=2,从而所求外接球的体积为 4πR33=323π,选项正确.
综上所述,选项 A D 正确.