每日一题[3036]追踪轨迹

在 ${\rm Rt}\triangle A B C$ 中，$B=\dfrac{\pi}{2}$，$A C=2 B C=4$，$D$ 为线段 $A C$ 的中点，如图，将 $\triangle A B D$ 沿 $B D$ 翻折，得到三棱锥 $P-B C D$（点 $P$ 为点 $A$ 翻折到的位置），在翻折过程中，下列说法正确的是（       ）

A．$\triangle P B D$ 的外接圆半径为 $2$

B．存在某一位置，使得 $P D \perp B D$

C．存在某一位置，使得 $P B \perp C D$

D．若 $P D \perp D C$，则此时三棱锥 $P-B C D$ 的外接球的体积为 $\dfrac{32}{3} \pi$

答案    AD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，$\triangle PBD$ 的外接圆半径与 $\triangle ABP$ 的外接圆半径相同，为

$$\dfrac 12\cdot \dfrac{AB}{\sin ADB}=\dfrac 12\cdot \dfrac{2\sqrt 3}{\sin120^\circ}=2,$$ 选项正确； 对于选项 $\boxed{B}$ 和选项 $\boxed{D}$，如图，设 $A$ 关于 $BD$ 的对称点为 $A_1$，则 $P$ 点在底面 $ABC$ 的投影 $Q$ 轨迹为线段 $AA_1$（不包含端点），此时 $PD\perp BD$ 和 $PB\perp CD$ 分别等价于 $QD\perp BD$ 和 $QB\perp CD$，均不可能（对于后者，当 $Q=A_1$ 时有 $BQ\perp CD$，但线段端点无法取得），如图．

对于选项 $\boxed{D}$，过 $D$ 作 $DC$ 的垂线交 $AA_1$ 于 $G$，则 $G$ 为 $P$ 在底面 $ABC$ 上的投影．设三棱锥 $P-BCD$ 的外接球球心为 $O$ 半径为 $R$，在 $O$ 在底面 $ABC$ 上的投影为 $\triangle BCD$ 的中心 $O_1$，则 $O_1B=\dfrac{2}{\sqrt 3}$，$O_1G=BD=2$，且

$$PG=\sqrt{PH^2-HG^2}=\sqrt{3-\dfrac13}=\dfrac{2\sqrt 6}3,$$ 从而 $$R^2=O_1O^2+O_1B^2=(PG-O_1O)^2+O_1G^2,$$ 解得 $O_1O=\dfrac{2\sqrt 6}3$，$R=2$，从而所求外接球的体积为 $\dfrac{4\pi R^3}3=\dfrac{32}3\pi$，选项正确．

综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{D}$ 正确．