每日一题[3035]挪转乾坤

如图，在棱长为 $1$ 的长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$P$ 为侧面 $BCC_1B$（不含边界）内的动点，$Q$ 为线段 $A_1C$ 上的动点，若直线 $A_1P$ 与 $A_1B_1$ 的夹角为 $45^\circ$，则下列说法正确的是（       ）

A．线段 $A_1P$ 的长度为 $\sqrt 2$

B．$\dfrac{\sqrt 3}3A_1Q+PQ$ 的最小值为 $1$

C．对任意点 $P$ 总存在点 $Q$，使得 $D_1Q\perp CP$

D．存在点 $P$，使得直线 $A_1P$ 与平面 $ADD_1A_1$ 所成的角为 $60^\circ$

答案    ABC．

解析    由于 $A$ 在侧面 $BCC_1B$ 上的投影为 $B_1$，可得 $\angle B_1A_1P=45^\circ$，连接 $B_1P$，则 $B_1P=1$，$A_1P=\sqrt 2$，选项 $\boxed{A}$ 正确． 对于选项 $\boxed{B}$，设 $Q$ 在 $A_1B_1C_1D_1,BCC_1C$ 上的投影分别为 $H,I$，如图，则

$$\dfrac{\sqrt 3}3A_1Q+PQ=QH+QP=1-QI+QP\geqslant 1,$$ 等号当 $QP\perp BCC_1B$ 即 $P$ 在以 $B_1$ 为圆心 $1$ 为半径的弧 $BC_1$ 与 $B_1C$ 的交点时取得，选项 $\boxed{B}$ 正确．

对于选项 $\boxed{C}$，设 $P$ 在平面 $A_1BCD_1$ 上的投影为 $M$，在平面 $A_1BCD_1$ 上作 $D_1N\perp CM$ 交 $A_1C$ 于 $Q$，则 $D_1Q\perp CP$（设 $CD_1$ 中点为 $R$，$CP$ 与 $BR$ 的交点在线段 $BR$ 内部，因此必然能在线段 $A_1C$ 内部找到对应的点 $Q$），如图，选项 $\boxed{C}$ 正确．

对于选项 $\boxed{D}$，注意到 $A_1B_1\perp ADD_1A_1$，于是 $A_1P$ 与平面 $ADD_1A_1$ 所成角始终为 $45^\circ$，选项 $\boxed{D}$ 错误．

综上所述，说法正确的有 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．