已知函数 f(x)=mex−x2−x+2.
1、若函数 f(x) 在 R 上单调递增,求 m 的取值范围.
2、若 m<0,且 f(x) 有两个零点 x1,x2,证明:|x1−x2|<3+m3.
解析
1、函数 f(x) 的导函数f′(x)=mex−2x−1,
因此题意即∀x∈R, mex−2x−1⩾0,
也即∀x∈R, m⩾(2x+1)e−x,
设 g(x)=(2x+1)e−x,则其导函数g′(x)=(1−2x)e−x,
因此函数 g(x) 的最大值为 g(12)=2√e,从而 m 的取值范围是 [2√e,+∞).
2、方程 f(x)=0 即m=(x+2)(x−1)e−x,
设右侧函数为 h(x),其导函数h′(x)=(−x2+x+3)e−x,
画出草图,如图.
思路分析 问题的关键在于找到函数 h(x) 的外接曲线 p(x)(在 x∈(−2,1) 上,有 h(x)>p(x)),而方程 p(x)=m 有两个容易解出的实数解 x3,x4,不妨设 x1<x2,x3<x4,就有|x1−x2|<|x3−x4|,
从而估计出横截线段长的上界.一般这样的外接曲线由两条直线或者抛物线承担,观察欲证不等式,当 m→0 时,有 |x1−x2|→3,因此外接曲线 p(x) 过点 (−2,0) 和 (1,0),一个自然的想法是取 h(x) 在 x=−2 和 x=1 处的切线来组成 p(x),但若 h(x) 不是一致下凸的,则可能需要进行一些调整.
求解问题 函数 h(x) 在 (−2,t) 上单调递减,在 (t,1) 上单调递增,其中 t=√13−12.设 A(−2,0),B(1,0),先寻找左侧直线,h(x) 在 A 处的切线方程为 u(x)=−3e2(x+2),此时在 x∈(−2,t) 上,有(h(x)−u(x))′=e−x(3ex+2−x2+x+3)>e−x(3(x+3)−x2+x+3)=e−x(6−x)(2+x)>0,
因此 h(x)>u(x).
思路分析 接下来寻找右侧直线,先考虑 h(x) 在 B 处切线方程 v(x)=3e(x−1),则(h(x)−v(x))′=e−x(−3ex−1−x2+x+3),
我们会发现在 x=1 的左侧,至少在 (0,1) 上,都有 (h(x)−v(x))′>0,也就是说在 (0,1) 上,有 h(x)<v(x),这与我们的设想不符.考虑h″(x)=e−x(x2−3x−2),
因此在区间 (t,1) 上函数 h(x) 先下凸后上凸,所以转而寻找函数 h(x) 在下凸部分的某处 C 的切线,使其过点 B 即可.
求解问题 尝试寻找 k,使得∀x∈(t,1), h(x)⩾k(x−1),
即∀x∈(t,1), (x+2)e−x⩽k,
不难求出左侧函数的最大值在 x=−1 处取得,为 e,因此取 k=e,则有 v(x)=e(x−1),且 h(x)⩾v(x). 这样设 h1(x)={u(x),x∈(−2,t),v(x),x∈(t,1), 则 h(x)⩾h1(x),设直线 y=m 与 h1(x) 的图象交点横坐标为 x3,x4(x3<x4),则−2<x3<x1<t<x2<x4,
从而|x1−x2|<|x3−x4|=|(m−3e2−2)−(me+1)|=3+(13e2+1e)m<3+m3,
命题得证.
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