每日一题[3034]外接曲线

已知函数 f(x)=mexx2x+2

1、若函数 f(x)R 上单调递增,求 m 的取值范围.

2、若 m<0,且 f(x) 有两个零点 x1,x2,证明:|x1x2|<3+m3

解析

1、函数 f(x) 的导函数f(x)=mex2x1,因此题意即xR, mex2x10,也即xR, m(2x+1)ex,g(x)=(2x+1)ex,则其导函数g(x)=(12x)ex,因此函数 g(x) 的最大值为 g(12)=2e,从而 m 的取值范围是 [2e,+)

2、方程 f(x)=0m=(x+2)(x1)ex,设右侧函数为 h(x),其导函数h(x)=(x2+x+3)ex,画出草图,如图.

思路分析    问题的关键在于找到函数 h(x) 的外接曲线 p(x)(在 x(2,1) 上,有 h(x)>p(x)),而方程 p(x)=m 有两个容易解出的实数解 x3,x4,不妨设 x1<x2x3<x4,就有|x1x2|<|x3x4|,从而估计出横截线段长的上界.一般这样的外接曲线由两条直线或者抛物线承担,观察欲证不等式,当 m0 时,有 |x1x2|3,因此外接曲线 p(x) 过点 (2,0)(1,0),一个自然的想法是取 h(x)x=2x=1 处的切线来组成 p(x),但若 h(x) 不是一致下凸的,则可能需要进行一些调整.

求解问题    函数 h(x)(2,t) 上单调递减,在 (t,1) 上单调递增,其中 t=1312.设 A(2,0)B(1,0),先寻找左侧直线,h(x)A 处的切线方程为 u(x)=3e2(x+2),此时在 x(2,t) 上,有(h(x)u(x))=ex(3ex+2x2+x+3)>ex(3(x+3)x2+x+3)=ex(6x)(2+x)>0,因此 h(x)>u(x)

思路分析    接下来寻找右侧直线,先考虑 h(x)B 处切线方程 v(x)=3e(x1),则(h(x)v(x))=ex(3ex1x2+x+3),我们会发现在 x=1 的左侧,至少在 (0,1) 上,都有 (h(x)v(x))>0,也就是说在 (0,1) 上,有 h(x)<v(x),这与我们的设想不符.考虑h因此在区间 (t,1) 上函数 h(x) 先下凸后上凸,所以转而寻找函数 h(x) 在下凸部分的某处 C 的切线,使其过点 B 即可.

求解问题    尝试寻找 k,使得\forall x\in (t,1),~h(x)\geqslant k(x-1),\forall x\in (t,1),~(x+2){\rm e}^{-x}\leqslant k,不难求出左侧函数的最大值在 x=-1 处取得,为 {\rm e},因此取 k={\rm e},则有 v(x)={\rm e}(x-1),且 h(x)\geqslant v(x). 这样设 h_1(x)=\begin{cases} u(x),&x\in (-2,t),\\ v(x),&x\in (t,1),\end{cases}h(x)\geqslant h_1(x),设直线 y=mh_1(x) 的图象交点横坐标为 x_3,x_4x_3<x_4),则-2<x_3<x_1<t<x_2<x_4,从而|x_1-x_2|<|x_3-x_4|=\left|\left(\dfrac{m}{-3{\rm e}^2}-2\right)-\left(\dfrac{m}{\rm e}+1\right)\right|=3+\left(\dfrac{1}{3{\rm e}^2}+\dfrac{1}{\rm e}\right) m<3+\dfrac m3,命题得证.

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