每日一题[3034]外接曲线

已知函数 $f(x)=m {\rm e}^x-x^2-x+2$．

1、若函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，求 $m$ 的取值范围．

2、若 $m<0$，且 $f(x)$ 有两个零点 $x_1, x_2$，证明：$\left|x_1-x_2\right|<3+\dfrac{m}{3}$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=m{\rm e}^x-2x-1,\]因此题意即\[\forall x\in\mathbb R,~m{\rm e}^x-2x-1\geqslant 0,\]也即\[\forall x\in \mathbb R,~m\geqslant (2x+1){\rm e}^{-x},\]设 $g(x)=(2x+1){\rm e}^{-x}$，则其导函数\[g'(x)=\left(1-2x\right){\rm e}^{-x},\]因此函数 $g(x)$ 的最大值为 $g\left(\dfrac 12\right)=\dfrac{2}{\sqrt{\rm e}}$，从而 $m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{2}{\sqrt{\rm e}},+\infty\right)$．

2、方程 $f(x)=0$ 即\[m=(x+2)(x-1){\rm e}^{-x},\]设右侧函数为 $h(x)$，其导函数\[h'(x)=(-x^2+x+3){\rm e}^{-x},\]画出草图，如图．

思路分析    问题的关键在于找到函数 $h(x)$ 的外接曲线 $p(x)$（在 $x\in(-2,1)$ 上，有 $h(x)>p(x)$），而方程 $p(x)=m$ 有两个容易解出的实数解 $x_3,x_4$，不妨设 $x_1<x_2$，$x_3<x_4$，就有\[|x_1-x_2|<|x_3-x_4|,\]从而估计出横截线段长的上界．一般这样的外接曲线由两条直线或者抛物线承担，观察欲证不等式，当 $m\to 0$ 时，有 $|x_1-x_2|\to 3$，因此外接曲线 $p(x)$ 过点 $(-2,0)$ 和 $(1,0)$，一个自然的想法是取 $h(x)$ 在 $x=-2$ 和 $x=1$ 处的切线来组成 $p(x)$，但若 $h(x)$ 不是一致下凸的，则可能需要进行一些调整．

求解问题    函数 $h(x)$ 在 $(-2,t)$ 上单调递减，在 $(t,1)$ 上单调递增，其中 $t=\dfrac{\sqrt{13}-1}2$．设 $A(-2,0)$，$B(1,0)$，先寻找左侧直线，$h(x)$ 在 $A$ 处的切线方程为 $u(x)=-3{\rm e}^2(x+2)$，此时在 $x\in (-2,t)$ 上，有\[\left(h(x)-u(x)\right)'={\rm e}^{-x}\left(3{\rm e}^{x+2}-x^2+x+3\right)>{\rm e}^{-x}\left(3(x+3)-x^2+x+3\right)={\rm e}^{-x}(6-x)(2+x)>0,\]因此 $h(x)>u(x)$．

思路分析    接下来寻找右侧直线，先考虑 $h(x)$ 在 $B$ 处切线方程 $v(x)=\dfrac{3}{\rm e}(x-1)$，则\[\left(h(x)-v(x)\right)'={\rm e}^{-x}\left(-3{\rm e}^{x-1}-x^2+x+3\right),\]我们会发现在 $x=1$ 的左侧，至少在 $(0,1)$ 上，都有 $\left(h(x)-v(x)\right)'>0$，也就是说在 $(0,1)$ 上，有 $h(x)<v(x)$，这与我们的设想不符．考虑\[h''(x)={\rm e}^{-x}(x^2-3x-2),\]因此在区间 $(t,1)$ 上函数 $h(x)$ 先下凸后上凸，所以转而寻找函数 $h(x)$ 在下凸部分的某处 $C$ 的切线，使其过点 $B$ 即可．

求解问题    尝试寻找 $k$，使得\[\forall x\in (t,1),~h(x)\geqslant k(x-1),\]即\[\forall x\in (t,1),~(x+2){\rm e}^{-x}\leqslant k,\]不难求出左侧函数的最大值在 $x=-1$ 处取得，为 ${\rm e}$，因此取 $k={\rm e}$，则有 $v(x)={\rm e}(x-1)$，且 $h(x)\geqslant v(x)$． 这样设 $h_1(x)=\begin{cases} u(x),&x\in (-2,t),\\ v(x),&x\in (t,1),\end{cases}$ 则 $h(x)\geqslant h_1(x)$，设直线 $y=m$ 与 $h_1(x)$ 的图象交点横坐标为 $x_3,x_4$（$x_3<x_4$），则\[-2<x_3<x_1<t<x_2<x_4,\]从而\[|x_1-x_2|<|x_3-x_4|=\left|\left(\dfrac{m}{-3{\rm e}^2}-2\right)-\left(\dfrac{m}{\rm e}+1\right)\right|=3+\left(\dfrac{1}{3{\rm e}^2}+\dfrac{1}{\rm e}\right) m<3+\dfrac m3,\]命题得证．