每日一题[3034]外接曲线

已知函数 f(x)=mexx2x+2

1、若函数 f(x)R 上单调递增,求 m 的取值范围.

2、若 m<0,且 f(x) 有两个零点 x1,x2,证明:|x1x2|<3+m3

解析

1、函数 f(x) 的导函数f(x)=mex2x1,

因此题意即xR, mex2x10,
也即xR, m(2x+1)ex,
g(x)=(2x+1)ex,则其导函数g(x)=(12x)ex,
因此函数 g(x) 的最大值为 g(12)=2e,从而 m 的取值范围是 [2e,+)

2、方程 f(x)=0m=(x+2)(x1)ex,

设右侧函数为 h(x),其导函数h(x)=(x2+x+3)ex,
画出草图,如图.

思路分析    问题的关键在于找到函数 h(x) 的外接曲线 p(x)(在 x(2,1) 上,有 h(x)>p(x)),而方程 p(x)=m 有两个容易解出的实数解 x3,x4,不妨设 x1<x2x3<x4,就有|x1x2|<|x3x4|,

从而估计出横截线段长的上界.一般这样的外接曲线由两条直线或者抛物线承担,观察欲证不等式,当 m0 时,有 |x1x2|3,因此外接曲线 p(x) 过点 (2,0)(1,0),一个自然的想法是取 h(x)x=2x=1 处的切线来组成 p(x),但若 h(x) 不是一致下凸的,则可能需要进行一些调整.

求解问题    函数 h(x)(2,t) 上单调递减,在 (t,1) 上单调递增,其中 t=1312.设 A(2,0)B(1,0),先寻找左侧直线,h(x)A 处的切线方程为 u(x)=3e2(x+2),此时在 x(2,t) 上,有(h(x)u(x))=ex(3ex+2x2+x+3)>ex(3(x+3)x2+x+3)=ex(6x)(2+x)>0,

因此 h(x)>u(x)

思路分析    接下来寻找右侧直线,先考虑 h(x)B 处切线方程 v(x)=3e(x1),则(h(x)v(x))=ex(3ex1x2+x+3),

我们会发现在 x=1 的左侧,至少在 (0,1) 上,都有 (h(x)v(x))>0,也就是说在 (0,1) 上,有 h(x)<v(x),这与我们的设想不符.考虑h(x)=ex(x23x2),
因此在区间 (t,1) 上函数 h(x) 先下凸后上凸,所以转而寻找函数 h(x) 在下凸部分的某处 C 的切线,使其过点 B 即可.

求解问题    尝试寻找 k,使得x(t,1), h(x)k(x1),

x(t,1), (x+2)exk,
不难求出左侧函数的最大值在 x=1 处取得,为 e,因此取 k=e,则有 v(x)=e(x1),且 h(x)v(x). 这样设 h1(x)={u(x),x(2,t),v(x),x(t,1),h(x)h1(x),设直线 y=mh1(x) 的图象交点横坐标为 x3,x4x3<x4),则2<x3<x1<t<x2<x4,
从而|x1x2|<|x3x4|=|(m3e22)(me+1)|=3+(13e2+1e)m<3+m3,
命题得证.

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