已知函数 f(x)=a2x2−x−xlnx(a∈R).
1、若 a=2,求方程 f(x)=0 的解.
2、若 f(x) 有两个零点且有两个极值点,记两个极值点为 x1,x2,求 a 的取值范围并证明: f(x1)+f(x2)<12e.
解析
1、当 a=2 时,方程 f(x)=0 即x2−x−xlnx=0⟺x(x−1−lnx)=0,而 x−1−lnx⩾0 等号当且仅当 x=1 时取得,因此所求方程的解为 x=1.
2、函数 f(x) 的导函数f′(x)=ax−2−lnx,其二阶导函数f″(x)=a−1x.当 a⩽0 时,函数 f′(x) 单调递减,与 f(x) 有两个极值点不符;当 a>0 时,函数 f′(x) 的极小值也为最小值是 f′(1a)=−1+lna,考虑到当 x→0 和 x→+∞ 时均有 f′(x)→+∞,因此 f(x) 有两个极值点等价于−1+lna<0⟺0<a<e.设函数 f(x) 的极值点为 t,则at−2−lnt=0⟺a=2+lntt,此时极值T=f(t)=a2t2−t−tlnt=−12tlnt,不妨设 x1<x2,则 f(x) 有两个零点等价于 0<x1<1<x2,设 g(x)=2+lnxx,则g′(x)=−1−lnxx2,因此函数 g(x) 在 (0,1e) 上单调递增,在 (1e,+∞) 上单调递减,因此 0<x1<1<x2 等价于 0<a<2,所以 a 的取值范围是 (0,2).此时a=2+lnx1x1=2+lnx2x2,且f(x1)+f(x2)<12e⟺−12x1lnx1−12x2lnx2<12e⟺x1lnx1+x2lnx2>−1e,而 0<x1<1e,1<x2,从而x1lnx1>−1e,x2lnx2>0,命题得证.函数 f(x) 的导函数f′(x)=ax−2−lnx,其二阶导函数f″(x)=a−1x.当 a⩽0 时,函数 f′(x) 单调递减,与 f(x) 有两个极值点不符;当 a>0 时,函数 f′(x) 的极小值也为最小值是 f′(1a)=−1+lna,考虑到当 x→0 和 x→+∞ 时均有 f′(x)→+∞,因此 f(x) 有两个极值点等价于−1+lna<0⟺0<a<e.设函数 f(x) 的极值点为 t,则at−2−lnt=0⟺a=2+lntt,此时极值T=f(t)=a2t2−t−tlnt=−12tlnt,不妨设 x1<x2,则 f(x) 有两个零点等价于 0<x1<1<x2,设 g(x)=2+lnxx,则g′(x)=−1−lnxx2,因此函数 g(x) 在 (0,1e) 上单调递增,在 (1e,+∞) 上单调递减,因此 0<x1<1<x2 等价于 0<a<2,所以 a 的取值范围是 (0,2).此时a=2+lnx1x1=2+lnx2x2,且f(x1)+f(x2)<12e⟺−12x1lnx1−12x2lnx2<12e⟺x1lnx1+x2lnx2>−1e,而 0<x1<1e,1<x2,从而x1lnx1>−1e,x2lnx2>0,命题得证.
老师什么时候更新b站啊?