每日一题[3032]分而治之

已知函数 f(x)=a2x2xxlnxaR).

1、若 a=2,求方程 f(x)=0 的解.

2、若 f(x) 有两个零点且有两个极值点,记两个极值点为 x1,x2,求 a 的取值范围并证明: f(x1)+f(x2)<12e.

解析

1、当 a=2 时,方程 f(x)=0x2xxlnx=0x(x1lnx)=0,x1lnx0 等号当且仅当 x=1 时取得,因此所求方程的解为 x=1

2、函数 f(x) 的导函数f(x)=ax2lnx,其二阶导函数f(x)=a1x.a0 时,函数 f(x) 单调递减,与 f(x) 有两个极值点不符;当 a>0 时,函数 f(x) 的极小值也为最小值是 f(1a)=1+lna,考虑到当 x0x+ 时均有 f(x)+,因此 f(x) 有两个极值点等价于1+lna<00<a<e.设函数 f(x) 的极值点为 t,则at2lnt=0a=2+lntt,此时极值T=f(t)=a2t2ttlnt=12tlnt,不妨设 x1<x2,则 f(x) 有两个零点等价于 0<x1<1<x2,设 g(x)=2+lnxx,则g(x)=1lnxx2,因此函数 g(x)(0,1e) 上单调递增,在 (1e,+) 上单调递减,因此 0<x1<1<x2 等价于 0<a<2,所以 a 的取值范围是 (0,2).此时a=2+lnx1x1=2+lnx2x2,f(x1)+f(x2)<12e12x1lnx112x2lnx2<12ex1lnx1+x2lnx2>1e,0<x1<1e1<x2,从而x1lnx1>1e,x2lnx2>0,命题得证.函数 f(x) 的导函数f(x)=ax2lnx,其二阶导函数f(x)=a1x.a0 时,函数 f(x) 单调递减,与 f(x) 有两个极值点不符;当 a>0 时,函数 f(x) 的极小值也为最小值是 f(1a)=1+lna,考虑到当 x0x+ 时均有 f(x)+,因此 f(x) 有两个极值点等价于1+lna<00<a<e.设函数 f(x) 的极值点为 t,则at2lnt=0a=2+lntt,此时极值T=f(t)=a2t2ttlnt=12tlnt,不妨设 x1<x2,则 f(x) 有两个零点等价于 0<x1<1<x2,设 g(x)=2+lnxx,则g(x)=1lnxx2,因此函数 g(x)(0,1e) 上单调递增,在 (1e,+) 上单调递减,因此 0<x1<1<x2 等价于 0<a<2,所以 a 的取值范围是 (0,2).此时a=2+lnx1x1=2+lnx2x2,f(x1)+f(x2)<12e12x1lnx112x2lnx2<12ex1lnx1+x2lnx2>1e,0<x1<1e1<x2,从而x1lnx1>1e,x2lnx2>0,命题得证.

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每日一题[3032]分而治之》有一条回应

  1. xuao psy说:

    老师什么时候更新b站啊?

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