每日一题[3031]切线三角形

已知抛物线 $H: x^2=2 p y$（$p$ 为常数，$p>0$），如图，$A, B, C$ 是 $H$ 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两相交于点 $A', B', C'$，证明：$\dfrac{|A C'|}{|C'B'|}=\dfrac{|B'A'|}{|A'C|}=\dfrac{|C'B|}{|B A'|}$．

解析    设 $A,B,C$ 的横坐标分别为 $a,b,c$，则根据抛物线的平均性质，有 $A',B',C'$ 的横坐标分别为 $\dfrac{b+c}2,\dfrac{c+a}2,\dfrac{a+b}2$，因此

$$\dfrac{|AC'|}{|C'B'|}=\left|\dfrac{\dfrac{a+b}2-a}{\dfrac{a+b}2-\dfrac{c+a}2}\right|=\left|\dfrac{b-a}{b-c}\right|,$$ 类似的，有 $$\dfrac{|B'A'|}{|A'C|}=\left|\dfrac{\dfrac{c+a}2-\dfrac{b+c}2}{\dfrac{b+c}2-c}\right|=\left|\dfrac{a-b}{b-c}\right|,$$ 以及 $$\dfrac{|C'B|}{|BA'|}=\left|\dfrac{\dfrac{a+b}2-b}{b-\dfrac{b+c}2}\right|=\left|\dfrac{a-b}{b-c}\right|,$$ 因此命题得证．