已知正实数 $0<a \leqslant \dfrac{1}{2} \leqslant b<1$，函数 $f(x)=a^x+b^{1-x}$（$x \in[0,1]$）．
1、若 $a+b=1$，证明：$f(x)$ 在 $[0, b]$ 上单调递减．
2、证明：对任意 $m, n \in \mathbb R^{\ast}$，$m+n=1$，有 $m^n+n^m \leqslant \sqrt{m}+\sqrt{n} \leqslant m^m+n^n$．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=a^x\ln a-b^{1-x}\ln b,\]其二阶导函数\[f''(x)=a^x\ln^2a+b^{1-x}\ln^2b>0,\]因此 $f'(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，因此只需要证明\[f'(b)\leqslant 0\iff a^b\ln a-b^{1-b}\ln b\leqslant 0\iff a^{1-a}\ln a\leqslant b^{1-b}\ln b\iff \dfrac{\ln a^a}{a^a}\leqslant \dfrac{\ln b^b}{b^b},\]而 $a^a,b^b\in (0,1)$，根据函数 $y=\dfrac{\ln x}{x}$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，只需要证明 $a^a\leqslant b^b$，而\[a^a\leqslant b^b\iff \dfrac{\ln a}{1- a}\leqslant \dfrac{\ln b}{1-b},\]利用 $y=\dfrac{\ln x}{1-x}$ 在 $(0,1)$ 上单调递增即得．
2、利用第 $(1)$ 小题的结论，由于 $0<a\leqslant \dfrac 12\leqslant b<1$，于是\[f(b)\leqslant f\left(\dfrac 12\right)\leqslant f(a),\]命题得证．