每日一题[3029]切线表达

已知抛物线 $y^2=2 p x$（$p>0$）与双曲线 $y=-\dfrac{1}{x}$ 相交于点 $R$，抛物线与双曲线的公切线分别与拋物线、双曲线相切于点 $S, T$，求证：对于任意正实数 $p$，$\triangle R S T$ 的面积是与 $p$ 无关的常数．

答案    $\triangle R S T$ 的面积是常数 $\dfrac{27}4$．

解析    根据题意有 $R\left(\left(2p\right)^{-\frac 13},-\left(2p\right)^{\frac 13}\right)$，设 $T\left(t,-\dfrac 1t\right)$，则 $$ST:\dfrac{-\dfrac 1tx+ty}{2}=-1\iff x-t^2y-2t=0,$$ 该直线与抛物线相切，于是 $$pt^4-2\cdot 1\cdot (-2t)=0\iff pt^3=-4,$$ 对应 $S\left(\dfrac 12pt^4,pt^2\right)$ 即 $\left(-2t,-\dfrac 4t\right)$．利用 $p$ 与 $t$ 的关系，有 $R\left(-\dfrac t2,\dfrac 2t\right)$，从而 $\triangle RST$ 的面积 $$[\triangle RST]=\dfrac 12\left|3t\cdot \dfrac 6t-\dfrac 32t\cdot \dfrac 3t\right|=\dfrac{27}4,$$ 命题得证．