每日一题[3027]零点位置

记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，已知 $\sin A=\cos B=\tan C$．

1、求 $2 A+C$ 的值．

2、证明：$c>b>\dfrac{2}{5} a$．

解析

1、$\sin A=\cos B$ 可得 $A=\dfrac{\pi}2\pm B$，又 $A+B=\pi -C\ne \dfrac{\pi}2$，因此 $A=\dfrac{\pi}2+B$，从而

$$2A+C=A+\left(\dfrac{\pi}2+B\right)+C=\dfrac{3\pi}2.$$

2、根据题意，有 $(A,B,C)=\left(\dfrac{\pi}2+B,B,\dfrac{\pi}2-2B\right)$，因此

$$\sin A=\cos B=\tan C\iff \cos B\tan 2B=1,$$ 而 $$\dfrac cb=\dfrac{\sin C}{\sin B}=\dfrac{\cos 2B}{\sin B}=2\cos^2B,\quad \dfrac ba=\dfrac{\sin B}{\sin A}=\dfrac{\sin B}{\cos B}=\tan B,$$ 一方面，有 $0<B<\dfrac{\pi}4$，于是 $2\cos^2B>1$，另一方面，设 $\tan B=x$，则 $$\cos B\tan 2B=1\iff \sqrt{\dfrac{1}{1+x^2}}\cdot \dfrac{2x}{1-x^2}=1\iff \dfrac{4x^2}{\left(1-x^2\right)\left(1-x^4\right)}=1,$$ 设 $f(x)=\dfrac{4x}{(1-x)(1-x^2)}$，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，而 $$f\left(\dfrac 4{25}\right)=\dfrac{10000}{12789}<1<f\left(\dfrac 15\right)=\dfrac{25}{24},$$ 因此命题得证．

备注    事实上，$2\cos^2B=\dfrac{2}{1+x^2}\in\left(\dfrac 53,\dfrac{50}{29}\right)$，也就是可以证明 $3c>5b>2a$．