每日一题[3025]内接正三角形

给定直角 $\triangle A B C$，其中 $\angle A C B=90^{\circ}$，$B C=a$，$A C=b$，点 $D, E, F$ 分别在边 $B C, C A,A B$ 上，使得 $\triangle D E F$ 是正三角形，求 $\triangle D E F$ 面积的最小值．

答案    $\dfrac{\sqrt 3a^2b^2}{4\left(a^2+b^2+\sqrt 3ab\right)}$．

解析    根据题意，设 $\angle CDE=x$，$DE=y$，则

$$\angle BDF=120^\circ-x,\quad \angle DFB=60^\circ+x-B,\quad BD=a-y\cos x,$$ 根据正弦定理，有 $$\dfrac{DF}{\sin B}=\dfrac{BD}{\sin\angle BFD}\iff \dfrac{y}{\sin B}=\dfrac{a-y\cos x}{\sin(60^\circ+x-B)},$$ 从而 $$\begin{split} y&=\dfrac{a\sin B}{\sin(60^\circ+x-B)+\cos x\sin B}\\ &=\dfrac{a\sin B}{(\cos(60^\circ-B)\sin x+\left(\sin(60^\circ-B)+\sin B\right)\cos y}\\ &\geqslant \dfrac{a\sin B}{\sqrt{\cos^2(60^\circ-B)+\left(\sin(60^\circ-B)+\sin B\right)^2}}\\ &=\dfrac{a\sin B}{\sqrt{1+\sqrt 3\sin B\cos B}}\\ &=\dfrac{a\cdot \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}{\sqrt{1+\sqrt 3\cdot \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}}\\ &=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2+\sqrt 3ab}},\end{split}$$ 因此 $\triangle DEF$ 面积的最小值为 $$\dfrac {\sqrt 3}4\cdot \left(\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2+\sqrt 3ab}}\right)^2=\dfrac{\sqrt 3a^2b^2}{4\left(a^2+b^2+\sqrt 3ab\right)}.$$