每日一题[3023]消元策略

已知 $\triangle A B C$ 满足 $2 \sin C \sin (B-A)=2 \sin A \sin C-\sin ^2 B$．

1、试问：角 $B$ 是否可能为直角？请说明理由．

2、若 $\triangle A B C$ 为锐角三角形，求 $\dfrac{\sin C}{\sin A}$ 的取值范围．

解析

1、根据题意，有

$$2\sin(B+A)\sin(B-A)=2\sin A\sin C-\sin^2B,$$ 即 $$2\left(\sin^2B-\sin^2A\right)=2\sin A\sin C-\sin^2B,$$ 根据正弦定理，有 $$2b^2-2a^2=2ac-b^2\implies 3b^2=2ac+2a^2,$$ 根据余弦定理，有 $$\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{3a^2+3c^2-2ac-2a^2}{6ac}=\dfrac{a^2+3c^2-2ac}{6ac}\geqslant \dfrac{2c^2}{6ac}>0,$$ 因此角 $B$ 为锐角，不可能为直角．

2、根据正弦定理，有 $\dfrac{\sin C}{\sin A}=\dfrac ca$，不妨设 $a=1$，则

$$\begin{cases} 3b^2=2c+2,\\ b^2+1>c^2,\\ b^2+c^2>1,\end{cases}\iff \begin{cases} 3b^2=2c+2,\\ 3b^2>3c^2-3,\\ 3b^2>3-3c^2,\end{cases}$$ 消元可得 $$\begin{cases} 2c+2>3c^2-3,\\ 2c+2>3-3c^2,\end{cases}\iff \begin{cases} 3c^2-2c-5<0,\\ 3c^2+2c-1>0,\end{cases}\iff \dfrac13<c<\dfrac 53,$$ 因此所求取值范围是 $\left(\dfrac 13,\dfrac 53\right)$．