已知数列 {an} 满足:a1=π2,an+1=an−sinann+1(n∈N∗).
1、证明:0<an+1<an⩽π2.
2、证明:nan<10.
解析
1、先证明 an∈(0,π2],考虑递推,有0<12an=an−12an<an+1=an−sinann+1<an⩽π2,有界性得证.进而易得单调性,命题得证.
2、根据题意,有0<(n+1)an+1−nan=an−sinan<16a3n,因此 {nan} 单调递增,且 {an} 单调递减,考虑证明 an⩽p√n,其中 p 为正常数.由an+1=an−sinann+1<nan+16a3nn+1,为了保证递推成立,只需要n⋅p√n+16(p√n)3n+1⩽p√n+1,即√n+p26n√n⩽√n+1⟺p2<6n√n√n+1+√n,而右侧关于 n 单调递增. 当起点选为 n=1 时,有π2=a1⩽p⩽√6(√2−1),因此取 p=a1=π−12 即可. 这样就有(n+1)an+1<a1+16n∑k=1(a1√k)3<a1+16a31n∑k=1(2√k−12−2√k+12)=a1+13a31(2√2−2√n+12)<a1+2√23a31<10,命题得证.
备注 事实上,有 a1+2√23a31=5.2249⋯.也可以利用1nan−1(n+1)an+1=(n+1)an+1−nann(n+1)anan+1<a2n6n(n+1)an+1<a2n6n⋅nan=an6n2⩽π12n2,于是n∑k=1(1kak−1(k+1)ak+1)⩽π12n∑k=11k2<π12(1+n∑k=2(1k−12−1k+12))=5π36,因此1(n+1)an+1>1a1−5π36⟹(n+1)an+1<36π72−5π2<10,其中 36π72−5π2=4.9928⋯.