每日一题[3022]递增速度估计

已知数列 {an} 满足:a1=π2an+1=ansinann+1nN).

1、证明:0<an+1<anπ2

2、证明:nan<10

解析

1、先证明 an(0,π2],考虑递推,有0<12an=an12an<an+1=ansinann+1<anπ2,有界性得证.进而易得单调性,命题得证.

2、根据题意,有0<(n+1)an+1nan=ansinan<16a3n,因此 {nan} 单调递增,且 {an} 单调递减,考虑证明 anpn,其中 p 为正常数.由an+1=ansinann+1<nan+16a3nn+1,为了保证递推成立,只需要npn+16(pn)3n+1pn+1,n+p26nnn+1p2<6nnn+1+n,而右侧关于 n 单调递增. 当起点选为 n=1 时,有π2=a1p6(21),因此取 p=a1=π12 即可. 这样就有(n+1)an+1<a1+16nk=1(a1k)3<a1+16a31nk=1(2k122k+12)=a1+13a31(222n+12)<a1+223a31<10,命题得证.

备注  事实上,有 a1+223a31=5.2249.也可以利用1nan1(n+1)an+1=(n+1)an+1nann(n+1)anan+1<a2n6n(n+1)an+1<a2n6nnan=an6n2π12n2,于是nk=1(1kak1(k+1)ak+1)π12nk=11k2<π12(1+nk=2(1k121k+12))=5π36,因此1(n+1)an+1>1a15π36(n+1)an+1<36π725π2<10,其中 36π725π2=4.9928

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