每日一题[3020]极限拉扯

已知函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可导，$xf(x)+x^2f'(x)={\rm e}^x$，$f(1)={\rm e}$，判断函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的单调性．

解析    根据题意，有 $$\left(xf(x)\right)'=\dfrac{{\rm e}^x}{x},$$ 设 $g(x)=xf(x)$，则 $g(1)=f(1)={\rm e}$，且 $g'(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x}$，于是 $$f'(x)=\left(\dfrac{g(x)}{x}\right)'=\dfrac{xg'(x)-g(x)}{x^2}=\dfrac{{\rm e}^x-g(x)}{x^2},$$ 设 $h(x)={\rm e}^x-g(x)$，则 $$h'(x)={\rm e}^x-g'(x)=\dfrac{(x-1){\rm e}^x}{x},$$ 因此 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，$(1,+\infty)$ 上单调递增，而 $h(1)=0$，从而在 $(0,+\infty)$ 上有 $h(x)\geqslant 0$，进而 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．