每日一题[3018]穷举

已知数列 $\{a_n\}$ 共有 $M$ 项，其中 $M$ 为大于 $5$ 的正整数，若对任意不小于 $M$ 的正整数 $k$，都有 $a_k+a_{M+1-k}=0$，且当 $n\leqslant \dfrac M2$ 时，$a_n=\dfrac{1}{2^n}$．记 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$．是否对于任何小于 $M$ 的正整数 $p,q$，都存在正整数 $i,j$，使得 $a_i+a_j=S_p-S_q$？

解析    当 $M$ 为奇数时，设 $M=2m-1$，则

$$a_n:\dfrac 12,\dfrac14,\cdots,\dfrac{1}{2^{m-1}},0,-\dfrac{1}{2^{m-1}},\cdots,-\dfrac14,-\dfrac 12,$$ 从而 $$S_n=\begin{cases} 1-\dfrac{1}{2^n},&n=1,2,\cdots,m-1,\\ 1-\dfrac{1}{2^{2m-1-n}},&n=m,m+1,\cdots,2m-2,\\ 0,&n=2m-1.\end{cases}$$ 当 $M$ 为偶数时，设 $M=2m$，则 $$a_n:\dfrac 12,\dfrac14,\cdots,\dfrac{1}{2^{m}},-\dfrac{1}{2^{m}},\cdots,-\dfrac14,-\dfrac 12,$$ 从而 $$S_n=\begin{cases} 1-\dfrac{1}{2^n},&n=1,2,\cdots,m,\\ 1-\dfrac{1}{2^{2m-n}},&n=m+1,\cdots,2m-1,\\ 0,&n=2m.\end{cases}$$ 因此当正整数 $p,q<M$ 时，$S_p-S_q$ 均形如 $\dfrac1{2^s}-\dfrac{1}{2^t}$，其中 $s,t\in\{1,2,\cdots,m-1\}$，因此存在正整数 $i,j$ 使得 $a_i+a_j=S_p-S_q$．