每日一题[3016]映射计数

若数列 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 满足 $a_1+a_4=a_2+a_3$，则称此数列为“准等差数列”．现从 $1,2, \cdots, 9,10$ 这 $10$ 个数中随机选取 $4$ 个不同的数，则这 $4$ 个数经过适当的排列后可以构成“准等差数列”的概率是_______．

答案    $\dfrac 5{21}$．

解析    不妨设 $a_1<a_2<a_3<a_4$，则 $(p,q,r)$ 表示一个准等差数列 $p,p+q,p+q+r,p+2q+r$，例如 $(1,2,3)$ 表示 $1,3,6,8$．因此准等差数列的个数为满足 $p,q,r\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $p+2q+r\leqslant 10$ 的有序数组 $(p,q,r)$ 的个数．按 $q$ 的取值计数，所求准等差数列的个数为

$$\sum_{m=2,4,6,8}\sum_{k=1}^{m-1}k=\sum_{m=2,4,6,8}\dfrac{(m-1)m}2=1+6+15+28=50,$$ 因此所求概率为 $$\dfrac{50}{\dbinom{10}4}=\dfrac{50}{210}=\dfrac{5}{21}.$$