若数列 a1,a2,a3,a4 满足 a1+a4=a2+a3,则称此数列为“准等差数列”.现从 1,2,⋯,9,10 这 10 个数中随机选取 4 个不同的数,则这 4 个数经过适当的排列后可以构成“准等差数列”的概率是_______.
答案 521.
解析 不妨设 a1<a2<a3<a4,则 (p,q,r) 表示一个准等差数列 p,p+q,p+q+r,p+2q+r,例如 (1,2,3) 表示 1,3,6,8.因此准等差数列的个数为满足 p,q,r∈N∗ 且 p+2q+r⩽10 的有序数组 (p,q,r) 的个数.按 q 的取值计数,所求准等差数列的个数为∑m=2,4,6,8m−1∑k=1k=∑m=2,4,6,8(m−1)m2=1+6+15+28=50,因此所求概率为\dfrac{50}{\dbinom{10}4}=\dfrac{50}{210}=\dfrac{5}{21}.