每日一题[3014]等张角线

已知动圆 $N$ 经过点 $A(-6,0)$ 及原点 $O$，点 $P$ 是圆 $N$ 与圆 $M: x^2+(y-4)^2=4$ 的一个公共点，则当 $\angle O P A$ 最小时，圆 $N$ 的半径为_______．

答案    $5$．

解析    根据题意，当 $\angle OPA$ 最小时，圆 $N$ 的半径 $R$ 最大，此时圆 $M$ 内切于圆 $N$，设 $N(-3,n)$，而 $M(0,4)$，于是

$$\begin{cases} R^2=n^2+9,\\ \sqrt{((-3)-0)^2+(n-4)^2}=R-2,\end{cases}\iff \begin{cases} R^2=n^2+9,\\ n^2-8n+25=R^2-4R+4,\end{cases}$$ 也即 $$\begin{cases} R^2=n^2+9,\\ 2n-R=3,\end{cases}\iff \begin{cases} R=5,\\ n=4,\end{cases}$$ 因此所求圆 $N$ 的半径为 $5$．