每日一题[3005]折叠轨迹

已知等边三角形 $ABC$，点 $E,F$ 分别是边 $AB,AC$ 上的动点，且满足 $EF\parallel BC$，将 $\triangle AEF$ 的顶点 $A$ 沿 $EF$ 翻折至 $P$ 点处．如图，记二面角 $P-EF-B$ 的平面角为 $\alpha$，二面角 $P-FC-B$ 的平面角 $\beta$，直线 $PF$ 与平面 $EFCB$ 所成角为 $\gamma$，则（       ）

A．$\alpha\geqslant \beta\geqslant \gamma$

B．$\alpha\geqslant \gamma \geqslant \beta$

C．$\beta\geqslant \alpha\geqslant \gamma$

D．$\beta\geqslant \gamma \geqslant \alpha$

答案    A．

解析    如图，设 $P$ 在底面投影为 $M$，$PH\perp AC$ 于 $H$，连接 $MH,PH$．

根据题意，有

$$\tan\alpha=\dfrac{|PM|}{|MN|},\quad \tan\beta=\dfrac{|PM|}{|MH|},\quad \tan\gamma=\dfrac{|PM|}{|MF|},$$ 显然 $|MF|\geqslant |MN|$ 且 $|MF|\geqslant |MH|$，接下来比较 $|MH|$ 和 $|MN|$ 的大小．考虑到 $$|MN|\leqslant |AN|\implies [\triangle ANF]\geqslant [\triangle MNF]\implies [\triangle AMF]\geqslant [\triangle MEF],$$ 于是 $$\dfrac 12 |MH|\cdot |AF|\geqslant \dfrac 12 |MN|\cdot |EF|\implies |MH|\geqslant |MN|,$$ 因此 $\alpha\geqslant \beta\geqslant \gamma$，选项 $\boxed{A}$ 正确．