每日一题[3004]折叠轨迹

如图，已知矩形 $ABCD$ 中，$AB=\sqrt 3$，$AD=1$，$AF\perp ABCD$ 且 $AF=3$，$E$ 为线段 $DC$ 上的点，连接 $FB,FC$．沿直线 $AE$ 将 $\triangle DAE$ 向上翻折成 $\triangle D'AE$，$M$ 为 $BD'$ 的中点，则下列说法正确的是（       ）

A．三棱锥 $A-BCF$ 的体积为 $\dfrac{3\sqrt 3}2$

B．当点 $E$ 固定在线段 $DC$ 某位置时，$D'$ 在某个圆上运动

C．当点 $E$ 在线段 $DC$ 上运动时，$D'$ 在某个球面上运动

D．当点 $E$ 在线段 $DC$ 上运动时，三棱锥 $M-BCF$ 的体积的最小值为 $\dfrac{\sqrt 3}{12}$

答案    BC．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，三棱锥 $A-BCF$ 的体积 $$[A-BCF]=[F-ABC]=\dfrac13\cdot d(F,ABC)\cdot [\triangle ABC]=\dfrac13\cdot 3\cdot \dfrac{\sqrt 3}2=\dfrac{\sqrt 3}2,$$ 选项不正确．

对于选项 $\boxed{B}$，过 $D$ 作 $DH\perp AE$ 于 $H$，则 $D'$ 在以 $H$ 为圆心，$|DH|$ 为半径的圆上运动，选项正确．

对于选项 $\boxed{C}$，由于 $|AD'|=|AD|=1$，因此 $D'$ 在以 $A$ 为球心半径为 $1$ 的球面上运动，选项正确．

对于选项 $\boxed{D}$，三棱锥 $M-BCF$ 的体积 $$\begin{split} [M-BCF]&=\dfrac 12[D'-BCF]\\ &=\dfrac 16\cdot d(D',BCF)\cdot [\triangle BCF]\\ &\geqslant \dfrac 16\cdot \left(d(A,BCF)-|AD'|\right)\cdot [\triangle BCF] \\ &=\dfrac 16\cdot \left(\dfrac 32-1\right)\cdot \sqrt 3\\ &=\dfrac{\sqrt 3}{12},\end{split}$$ 等号当 $AD'\perp BCF$ 时取得，因此选项正确．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．