每日一题[3001]投影位置

在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，点 $E, F$ 分别是棱 $B C, C C_1$ 的中点，$P$ 是侧面 $A D D_1 A_1$ 上的动点，且 $P C_1 \parallel A E F$，则点 $P$ 的轨迹长为_______，点 $P$ 到直线 $A F$ 的距离的最小值为_______．

答案    $\dfrac{\sqrt 2}2$；$\dfrac{\sqrt 2}3$．

解析    设 $M,N$ 分别为 $AA_1,A_1D_1$ 的中点，连接 $C_1M,MN,NC1$，则 $AEF\parallel C_1MN$，因此点 $P$ 的轨迹为线段 $MN$，其长度为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，如图．

注意到线段 $MN$ 在平面 $AEF$ 上的投影（位于线段 $AD_1$ 内部）与直线 $AF$ 没有公共点，因此 $d(P,AF)$ 的最小值在端点处取得，而

$$d(M,AF)=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{|AM|^2}+\dfrac{1}{|MF|^2}}}=\sqrt{\dfrac{1}{4+\dfrac 12}}=\dfrac{\sqrt 2}3,$$ 因此点 $P$ 到直线 $AF$ 的距离的最小值为 $\dfrac{\sqrt 2}3$．