已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=-\dfrac 12$，$a_{n+1}=\ln(a_n+1)-\sin a_n$，则下列说法正确的有（ ）
A．$a_n>a_{n+1}$
B．$-\dfrac 12\leqslant a_n\leqslant -\dfrac 14$
C．$a_{n+1}>-\dfrac{a_n^2}{a_n+2}$
D．$a_n\geqslant -\dfrac{1}{2^n}$
答案 D．
解析 设 $b_n=-a_n$，则\[b_{n+1}=\ln\dfrac{1}{1-b_n}-\sin b_n,\]设 $f(x)=\ln\dfrac1{1-x}-\sin x$，则其导函数\[f'(x)=\dfrac{1}{1-x}-\cos x>1-\cos x>0,\]于是在 $x\in\left(0,\dfrac 12\right]$ 上函数 $f(x)$ 单调递增且 $f(x)<x$，因此 $\{b_n\}$ 从 $b_1=\dfrac 12$ 开始单调递减趋于 $0$，进而 $\{a_n\}$ 从 $a_1=-\dfrac 12$ 开始单调递增趋于 $0$，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ 错误． 选项 $\boxed{C}$ 即 $b_{n+1}<\dfrac{b_n^2}{2-b_n}$．而当 $n=1$ 时，有\[b_2=\ln 2-\sin\dfrac 12>\dfrac 23-\dfrac 12=\dfrac 16=\dfrac{b_1^2}{2-b_1},\]矛盾，选项 $\boxed{C}$ 错误． 对于选项 $\boxed{D}$，考虑到\[\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\ln \dfrac{1}{1-x}-\sin x}{x},\]设 $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$，则在区间 $x\in\left(0,\dfrac 12\right]$ 上，其导函数\[g'(x)=\dfrac{\dfrac x{1-x}+\ln(1-x)+\cos x(\tan x-x)}{x}>0,\]因此\[g(x)\leqslant g\left(\dfrac 12\right)=2\left(\ln 2-\sin\dfrac 12\right)<\dfrac 12,\]因此\[b_n\leqslant \dfrac{1}{2^n}\implies a_n\geqslant -\dfrac{1}{2^n},\]选项 $\boxed{D}$ 正确．