每日一题[2996]迭代函数

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=-\dfrac 12$，$a_{n+1}=\ln(a_n+1)-\sin a_n$，则下列说法正确的有（       ）

A．$a_n>a_{n+1}$

B．$-\dfrac 12\leqslant a_n\leqslant -\dfrac 14$

C．$a_{n+1}>-\dfrac{a_n^2}{a_n+2}$

D．$a_n\geqslant -\dfrac{1}{2^n}$

答案    D．

解析    设 $b_n=-a_n$，则

$$b_{n+1}=\ln\dfrac{1}{1-b_n}-\sin b_n,$$ 设 $f(x)=\ln\dfrac1{1-x}-\sin x$，则其导函数 $$f'(x)=\dfrac{1}{1-x}-\cos x>1-\cos x>0,$$ 于是在 $x\in\left(0,\dfrac 12\right]$ 上函数 $f(x)$ 单调递增且 $f(x)<x$，因此 $\{b_n\}$ 从 $b_1=\dfrac 12$ 开始单调递减趋于 $0$，进而 $\{a_n\}$ 从 $a_1=-\dfrac 12$ 开始单调递增趋于 $0$，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ 错误． 选项 $\boxed{C}$ 即 $b_{n+1}<\dfrac{b_n^2}{2-b_n}$．而当 $n=1$ 时，有 $$b_2=\ln 2-\sin\dfrac 12>\dfrac 23-\dfrac 12=\dfrac 16=\dfrac{b_1^2}{2-b_1},$$ 矛盾，选项 $\boxed{C}$ 错误． 对于选项 $\boxed{D}$，考虑到 $$\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\ln \dfrac{1}{1-x}-\sin x}{x},$$ 设 $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$，则在区间 $x\in\left(0,\dfrac 12\right]$ 上，其导函数 $$g'(x)=\dfrac{\dfrac x{1-x}+\ln(1-x)+\cos x(\tan x-x)}{x}>0,$$ 因此 $$g(x)\leqslant g\left(\dfrac 12\right)=2\left(\ln 2-\sin\dfrac 12\right)<\dfrac 12,$$ 因此 $$b_n\leqslant \dfrac{1}{2^n}\implies a_n\geqslant -\dfrac{1}{2^n},$$ 选项 $\boxed{D}$ 正确．