已知 f(x) 和 g(x) 的定义域均为 R，且满足{f(x+1)=−12f(x)+√32g(x),g(x+1)=−12g(x)−√32f(x),且 f(x)=f(5−x)，g(365)=−√3，则 2023∑k=1f(k)=_______．
答案 2．
解析 根据题意，有g(x)=2√3f(x+1)+1√3f(x),于是(2√3f(x+1)+1√3f(x+1))=−12(2√3f(x+1)+1√3f(x))−√32f(x),整理得f(x+2)=−f(x+1)−f(x),设 f(1)=a，f(2)=b，则f(k):a,b,−a−b⏟,a,b,−a−b⏟,⋯,进而{f(x)=f(5−x),g(365)=−√3,⟹{f(2)=f(3),2f(366)+f(365)=−3,⟹{b=−a−b,2(−a−b)+b=−3,⟹{a=2,b=−1,因此 2023∑k=1f(k)=f(1)=a=2．
(2√3f(x+2)+1√3f(x+1))=−12(2√3f(x+1)+1√3f(x))−√32f(x)