每日一题[153] 复合函数的单调性

2015年高考数学安徽卷理科数学第21题（压轴题）：

设函数$f(x)=x^2-ax+b$．

（1）讨论函数$f(\sin x)$在$\left(-\dfrac \pi 2,\dfrac\pi 2\right)$内的单调性，并判断有无极值，有极值时求出极值；

（2）记$f_0(x)=x^2-a_0x+b_0$，求函数$\left|f(\sin x)-f_0(\sin x)\right|$在$\left[-\dfrac\pi 2,\dfrac\pi 2\right]$上的最大值$D$；

（3）在（2）中，取$a_0=b_0=0$，求$z=b-\dfrac{a^2}4$满足$D\leqslant 1$时的最大值．

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（1）解    考虑复合函数的单调性，有

当$a\leqslant -2$时，$f(x)$在$\left(-\dfrac\pi 2,\dfrac\pi 2\right)$上单调递增；

当$-2<a<2$时，$f(x)$在$\left(-\dfrac\pi 2,\arcsin \dfrac a2\right)$上单调递减，在$\left(\arcsin\dfrac a2,\dfrac\pi 2\right)$上单调递增；

当$a\geqslant 2$时，$f(x)$在$\left(-\dfrac\pi 2,\dfrac\pi 2\right)$上单调递减．

（2）解    令$t=\sin x$，$x\in\left[-\dfrac\pi 2,\dfrac\pi 2\right]$，则$t\in [-1,1]$，且

$$\begin{split}\left|f(\sin x)-f_0(\sin x)\right|&=\left|(a_0-a)t+b-b_0\right|\\&\leqslant \left|a-a_0\right|\cdot |t|+\left|b-b_0\right|\\&\leqslant\left|a-a_0\right|+\left|b-b_0\right|,\end{split}$$ 第一处等号当$(a_0-a)t$与$b-b_0$同号时可以取得，第二处等号当$t=\pm 1$时可以取得．

因此$D$的最大值为$\left|a-a_0\right|+\left|b-b_0\right|$，当$x={\rm {sgn}}\left[(a_0-a)(b-b_0)\right]\cdot\dfrac\pi 2$时取得．

（3）解    根据题意，$|a|+|b|\leqslant 1$，此时

$$z=b-\dfrac{a^2}4\leqslant b\leqslant |b|\leqslant 1,$$ 当$a=0\land b=1$时，等号均能取得．因此$z$的最大值为$1$．

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按    虽然安徽今年是最后一年独立命题，但是这样的压轴题是不是太简单了点？