每日一题[2989]辅助函数

已知函数 $f(x)={\rm e}^x-ax$ 有两个零点 $x_1,x_2$，求证：$\left|\ln\dfrac{x_1}{x_2}\right|<\sqrt{a^2-2a-1}\cdot x_1\cdot x_2$．

解析    方程 ${\rm e}^x=ax$ 即 $x=\ln x+\ln a$，不妨设 $x_1<x_2$，因此欲证不等式即

$$\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}<\sqrt{a^2-2a-1},$$ 事实上，有 $$\dfrac{{\rm e}^x}{x}>\dfrac{1+x+\dfrac 12x^2}{x}=\dfrac 12x+1+\dfrac{1}{x},$$ 设 $g(x)=\dfrac 12x+1+\dfrac 1x$，$g(x)=a$ 的实数解为 $x_3,x_4$（$x_3<x_4$），则 $$x_3<x_1<x_2<x_4,$$ 从而 $$\dfrac1{x_1}-\dfrac{1}{x_2}<\dfrac1{x_3}-\dfrac1{x_4}=\dfrac{x_4-x_3}{x_3x_4},$$ 而 $x=x_3,x_4$ 是方程 $$x^2+2(1-a)x+2=0$$ 的两个实数解，从而 $$\dfrac{x_4-x_3}{x_3x_4}=\sqrt{(a-1)^2-2}=\sqrt{a^2-2a-2},$$ 命题得证．