每日一题[2988]指对估值

已知 $a=\left(\dfrac{9}{8}\right)^{\frac{10}{9}}$，$b={\log _8 }9$，$c={\log _9} 10$，则 $a, b, c$ 的大小关系为（       ）

A．$c>b>a$

B．$b>a>c$

C．$a>b>c$

D．$a>c>b$

答案    C．

解析    根据题意，有

$$\ln 8\cdot \ln 10<\left(\dfrac{\ln 8+\ln 10}2\right)^2<\ln^29\implies b>c.$$ 又 $$a=\left(1+\dfrac 18\right)^{\frac{10}9}>1+\dfrac 18\cdot\dfrac{10}9=1+\dfrac{5}{36},$$ 而 $$b=1+\dfrac{\ln \dfrac 98}{\ln 8}<1+\dfrac{\frac 18}{\ln8}<1+\dfrac{1}{16}<1+\dfrac 5{36},$$ 因此 $a>b>c$．