每日一题[2971]转换系数

已知 $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ 是平面内的 $3$ 个单位向量，且 $\boldsymbol a\perp \boldsymbol b$，则 $|\boldsymbol a+2\boldsymbol c|+|3\boldsymbol a+2\boldsymbol b-\boldsymbol c|$ 的最小值为_______．

答案    $\sqrt{29}$．

解析    根据题意，有 $$|\boldsymbol a+2\boldsymbol c|=\sqrt{\boldsymbol a^2+4\boldsymbol a\cdot \boldsymbol c+4\boldsymbol c^2}=\sqrt{4\boldsymbol a^2+4\boldsymbol a\cdot \boldsymbol c+\boldsymbol c^2}=|2\boldsymbol a+\boldsymbol c|,$$ 于是 $$|\boldsymbol a+2\boldsymbol c|+|3\boldsymbol a+2\boldsymbol b-\boldsymbol c|=|2\boldsymbol a+\boldsymbol c|+|3\boldsymbol a+2\boldsymbol b-\boldsymbol c|\geqslant |5\boldsymbol a+2\boldsymbol b|\geqslant \sqrt{29},$$ 等号当 $2\boldsymbol a+\boldsymbol c$ 与 $3\boldsymbol a+2\boldsymbol b-\boldsymbol c$ 同向时取得，因此所求最小值为 $\sqrt{29}$．