每日一题[2970]换底计算

已知锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB=1$，$AC=2$，$O$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆圆心，点 $P$ 在圆 $O$ 上运动，则 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{AO}$ 的取值范围是（       ）

A．$\left[-\dfrac 12,4\right)$

B．$[0,2)$

C．$\left[-\dfrac 12,2\right)$

D．$[0,4)$

答案    C．

解析    根据题意，有

$$\begin{split} \overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{AO}&=\left(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}\right)\cdot \overrightarrow{AO}\\ &=\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AO}\\ &=\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AO}-\dfrac 12\cdot AB^2\\ &=\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AO}-\dfrac 12,\end{split}$$ 由于点 $P$ 在圆 $O$ 上运动，因此 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AO}$ 的取值范围是 $\left[0,2r^2\right]$，其中 $r$ 为外接圆半径．根据正弦定理，有 $$(2r)^2=\dfrac{BC^2}{\sin ^2A}=\dfrac{AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A}{\sin^2A}=\dfrac{5-4\cos A}{1-\cos^2A},$$ 其中考虑到 $\triangle ABC$ 是锐角三角形，可得 $A$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}2\right)$，即 $\cos A$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 12\right)$，进而 $(2r)^2$ 的取值范围是 $(4,5)$，于是 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{AO}$ 的取值范围是 $$\bigcup_{(2r)^2\in (4,5)}\left[-\dfrac 12,2r^2-\dfrac 12\right]=\left[-\dfrac 12,2\right).$$