每日一题[2978]三花聚顶

已知函数 $f(x)=x^3-\dfrac 12\sin x$，若 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{12}\right)$，$a=f\left((\cos\theta)^{\sin\theta}\right)$，$b=f\left((\sin\theta)^{\sin\theta}\right)$，$c=-f\left(-\dfrac 12\right)$，则 $a,b,c$ 的大小关系是（       ）

A．$a>b>c$

B．$b>a>c$

C．$a>c>b$

D．$c>a>b$

答案    A．

解析    函数 $f(x)$ 是奇函数，于是 $c=f\left(\dfrac 12\right)$，而 $$f'(x)=3x^2-\dfrac 12\cos x,$$ 因此当 $x\geqslant\dfrac 12$ 时，有 $$f'(x)\geqslant \dfrac 34-\dfrac 12>0,$$ 因此 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$ 上单调递增． 考虑到函数 $y=x^x$ 的导函数为 $y'=x^x(1+\ln x)$，于是 $y=x^x$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$ 上单调递减，而 $$\sin\dfrac{\pi}{12}<\dfrac{\pi}{12}<\dfrac 13<\dfrac{1}{\rm e},$$ 于是当 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{12}\right)$ 时，有 $$(\cos\theta)^{\sin\theta}>(\sin\theta)^{\sin\theta}>\left(\dfrac 13\right)^{\frac 13}>\dfrac 12,$$ 因此 $a>b>c$．