每日一题[2977]硬功夫

已知函数 $f(x)=a {\rm e}^{x}+b$（$a, b \in \mathbb{R}$），且 $f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=x$．

1、求 $f(x)$ 的解析式．

2、证明：当 $x>0$ 时，有 $f(x) \ln x+\dfrac{3}{x}>\dfrac{5}{2}$ 成立．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f’(x)=a{\rm e}^x,$$ 于是由 $f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $y=x$ 可得 $$\begin{cases} f(1)=1,\\ f’(1)=1,\end{cases}\iff \begin{cases} a{\rm e}+b=1,\\ a{\rm e}=1,\end{cases}\iff \begin{cases} a={\rm e}^{-1},\\ b=0,\end{cases}$$ 因此 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)={\rm e}^{x-1}$．

2、题中不等式即 $$\ln x+\left(\dfrac 3x-\dfrac 52\right){\rm e}^{1-x}>0,$$ 设左侧函数为 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{1-\left(\dfrac 3x-\dfrac 52x+3\right){\rm e}^{1-x}}{x},$$ 设分子部分为 $h(x)$，则其导函数 $$h'(x)=\left(\dfrac 3{x^2}+\dfrac 3x-\dfrac 52x+\dfrac{11}2\right){\rm e}^{1-x},$$ 设 $r(x)=\dfrac 3{x^2}+\dfrac 3x-\dfrac 52x+\dfrac{11}2$，则 $r(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，且 $$r(2)=-\dfrac{11}8<0<\dfrac 23=r(3),$$ 设 $r(x)$ 的零点为 $m$，则 $h(x)$ 在 $(0,m)$ 上单调递增，在 $(m,+\infty)$ 上单调递减，注意到 $h(2)=1+\dfrac{1}{2{\rm e}}>0$，且 $\lim\limits_{x\to +\infty}h(x)=1$，于是 $h(x)$ 在 $(0,m)$ 上有唯一零点，记为 $t$，函数 $g(x)$ 在 $(0,t)$ 上单调递减，在 $(t,+\infty)$ 上单调递增． 注意到 $h\left(\dfrac 32\right)=1-\dfrac{5}{4\sqrt {\rm e}}>0$，$h\left(1\right)=-\dfrac 52<0$，于是 $t\in\left(1,\dfrac 32\right)$，此时函数 $g(x)$ 的最小值 $$T=g(t)=\ln t+\dfrac{\dfrac 3t-\dfrac 52}{\dfrac 3t-\dfrac 52t+3}=\ln t+\dfrac{6-5t}{6+6t-5t^2},$$ 设 $p(x)=\ln x+\dfrac{6-5x}{6+6x-5x^2}$，则 $$p'(x)=\dfrac{36+6x+36x^2-85x^3+25x^4}{x(-6-6x+5x^2)^2},$$ 因此 $p(x)$ 在 $\left(1,\dfrac 32\right)$ 上单调递减，从而 $$T>p\left(\dfrac 32\right)=-\dfrac 25+\ln\dfrac 32,$$ 命题得证．