每日一题[2976]平均与参方

已知抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点 $O$，焦点 $F$ 在 $x$ 轴上，过点 $(2,0)$ 的直线交 $C$ 于 $P,Q$ 两点，且 $O P \perp O Q$，线段 $P Q$ 的中点为 $M$，则直线 $M F$ 的斜率的最大值为（        ）

A．$\dfrac{\sqrt{6}}{6}$

B．$\dfrac{1}{2}$

C．$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

D．$1$

答案    A．

解析    设抛物线方程为 $y^2=2px$，$P(2pa^2,2pa)$，$Q(2pb^2,2pb)$，则根据抛物线的平均性质，有 $$2pab=-2,$$ 又 $OP\perp OQ$，于是 $$\overrightarrow{OP}\cdot vv{OQ}=0\iff 4p^2a^2b^2+4p^2ab=0\iff 4-4p=0\iff p=1,$$ 因此 $M(a^2+b^2,a+b)$，$F\left(\dfrac 12,0\right)$，直线 $MF$ 的斜率为 $$\dfrac {a+b}{a^2+b^2-\dfrac 12}=\dfrac{a+b}{(a+b)^2+\dfrac 32}=\dfrac{1}{(a+b)+\dfrac{3}{2(a+b)}}\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{\dfrac 32}}=\dfrac{\sqrt 6}6,$$ 因此直线 $MF$ 的斜率的最大值为 $\dfrac{\sqrt 6}6$．