每日一题[2975]极限情形

$\triangle ABC$ 中，$AB=c$，$AC=b$，边 $AB,AC$ 上的中线长分别为 $u,v$，则 $\dfrac{b+2u}{c+2v}$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(\dfrac13,3\right)$

B．$\left(\dfrac14,4\right)$

C．$\left(\dfrac 15,5\right)$

D．以上答案都不对

答案    C．

解析    如图．当 $v\to 0$ 时，有 $u\to \dfrac 34b$，$c\to \dfrac 12b$，此时

$$\dfrac{b+2u}{c+2v}\to \dfrac{b+2\cdot \dfrac 34b}{\dfrac 12b+0}=5.$$ 接下来证明 $\dfrac{b+2u}{c+2v}<5$．

在 $\triangle ODB$ 中，可得 $\dfrac{2v}3>\dfrac u3-\dfrac c2$，在 $\triangle ABE$ 中，可得 $v>\dfrac b2-c$，于是

$$10v>6 \left(\dfrac u3-\dfrac c2\right)+2\left(\dfrac b2-c\right)=2u+b-5c,$$ 从而 $\dfrac{b+2u}{c+2v}$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 15,5\right)$．