每日一题[2974]分离变量

已知函数 $f(x)=\ln x+x^2-k x+1$ $(k \in \mathbb{R}$），$g(x)=x^2-3 x+x {\rm e}^x$． 

1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、若不等式 $f(x) \leqslant g(x)$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{2x^2-kx+1}{x},$$ 分子部分对称轴为 $x=\dfrac k2$，判别式 $\Delta=k^2-8$，因此讨论分界点为 $k=0,2\sqrt 2$．

情形一     $k\leqslant 2\sqrt 2$．此时函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(0,+\infty\right)$，没有单调递减区间．

情形二      $k>2\sqrt 2$．此时函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(0,\dfrac{k-\sqrt{k^2-8}}4\right)$ 和 $\left(\dfrac{k+\sqrt{k^2-8}}4,+\infty\right)$，单调递减区间是 $\left(\dfrac{k-\sqrt{k^2-8}}4,\dfrac{k+\sqrt{k^2-8}}4\right)$．

2、不等式 $f(x)\leqslant g(x)$ 即

$$k\geqslant \dfrac{\ln x+1}{x}-{\rm e}^x+3,$$ 设不等式右侧为函数 $h(x)$，则其导函数 $$h'(x)=-\dfrac{\ln x+x^2{\rm e}^x}{x^2},$$ 设 $r(x)=\ln x+x^2{\rm e}^x$，则 $$r\left(\dfrac{1}{\rm e}\right)<0,\quad r(1)>0,$$ 且 $r(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增，于是方程 $r(x)=0$ 有唯一零点，记为 $x=m$（$m\in\left(\dfrac1{\rm e},1\right)$），函数 $h(x)$ 的最大值为 $$M=h(m)=\dfrac{\ln m+1}{m}-{\rm e}^m+3,$$ 其中 $\ln m+m^2{\rm e}^m=0$，即 $$\dfrac 1m\ln\dfrac 1m={\rm e}^m\ln {\rm e}^m\implies \dfrac 1m={\rm e}^m,$$ 因此 $$M=\dfrac{-m+1}{m}-\dfrac 1m+3=2,$$ 因此实数 $k$ 的取值范围是 $\left[2,+\infty\right)$．