每日一题[2966]正负交替

已知 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$（$n\geqslant 2$）满足 $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1$，设 $$M=|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+\cdots+|x_{n-1}-x_n|+|x_n-x_1|.$$

1、若 $n=3$，求证：$M\leqslant 2\sqrt 2$．

2、若 $n=2023$，求 $M$ 的最大值．

解析

1、当 $n=3$ 时，不妨设 $x_1\geqslant x_2\geqslant x_3$，则 $$M=2(x_1-x_3)=2\sqrt{x_1^2+x_3^2-2x_1x_3}\leqslant 2\sqrt{2(x_1^2+x_3^2)}\leqslant 2\sqrt {2(x_1^2+x_2^2+x_3^2)}=2\sqrt 2,$$ 等号当 $(x_1,x_2,x_3)=\left(\dfrac{\sqrt 2}2,0,-\dfrac{\sqrt 2}2\right)$ 时取得，因此命题得证．

2、尝试证明当 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 正负交替时 $M$ 取得最大值，记 $x_{n+1}=x_1$．

情形一     $n$ 为偶数．此时 $$M=\sum_{k=1}^n|x_k-x_{k+1}|\leqslant \sum_{k=1}^n\left(|x_k|+|x_{k+1}|\right)=2\sum_{k=1}^n|x_k|\leqslant 2\sqrt n,$$ 等号当 $$(x_1,x_2,\cdot,x_n)=\left(\sqrt{\dfrac 1n},-\sqrt{\dfrac 1n},\sqrt{\dfrac 1n},-\sqrt{\dfrac 1n},\cdots,-\sqrt{\dfrac 1n}\right)$$ 时取得，因此 $M$ 的最大值为 $2\sqrt n$．

情形二     $n$ 为奇数．此时必然会出现两个相邻的数同号，不妨设 $x_2\geqslant x_1\geqslant 0$，则 $$\begin{split} M&=|x_1-x_2|+2\sum_{k=2}^{n}|x_k-x_{k+1}|\\ &\leqslant |x_1-x_2|+|x_2|+|x_1|+\sum_{k=3}^n|x_k|,\\ &=2\sum_{k=2}^n|x_k|\\ &\leqslant \sqrt{(n-1)(1-x_1^2)}\\ &\leqslant 2\sqrt{n-1},\end{split}$$ 等号当 $x_1=0$ 且 $|x_2|=|x_3|=\cdots=|x_n|$ 时也即 $$(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\left(0,\sqrt{\dfrac 1{n-1}},-\sqrt{\dfrac 1{n-1}},\sqrt{\dfrac 1{n-1}},-\sqrt{\dfrac 1{n-1}},\cdots,-\sqrt{\dfrac 1{n-1}}\right)$$ 时取得，因此 $M$ 的最大值为 $2\sqrt{n-1}$．

综上所述，$M$ 的最大值为 $\begin{cases} 2\sqrt n,&2\mid n,\\ 2\sqrt{n-1},&2\nmid n.\end{cases}$ 特别的，当 $n=2023$ 时，$M$ 的最大值为 $2\sqrt{2022}$．