每日一题[2960]函数、不等式与比大小

下列大小关系正确的是（       ）

A．$1.9^2<2^{1.9}$

B．$2^{2.9}<2.9^2$

C．${\log _7} 4<{\log _{12}} 7$

D．${\log _7}4+{\log _{12}} 7<\sqrt{2}$

答案    ABC.

解析    注意到 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 在 $(0,{\rm e})$ 上单调递增，在 $\left({\rm e},+\infty\right)$ 上单调递减，于是

$$\dfrac{\ln 1.9}{1.9}<\dfrac{\ln 2}{2},\quad \dfrac{\ln 2}{2}=\dfrac{\ln 4}{4}<\dfrac{\ln 2.9}{2.9},$$ 于是 $1.9^2<2^{1.9}$，$2^{2.9}<2.9^2$，选项 $\boxed{A}$ 和 $\boxed{B}$ 正确．

对于选项 $\boxed{C}$，有

$$\ln 4\cdot \ln 12<\left(\dfrac{\ln 4+\ln 12}2\right)^2=\left(\dfrac{\ln 48}2\right)^2<\ln^27,$$ 因此 ${\log _7} 4<{\log _{12}} 7$，选项 $\boxed{C}$ 正确．

对于选项 $\boxed{D}$，有

$$\left({\log _7}4+{\log _{12}} 7\right)^2>4\cdot {\log_7}4\cdot {\log_{12}}7=2{\log_{12}}16>2,$$ 因此 ${\log _7}4+{\log _{12}} 7>\sqrt{2}$，选项 $\boxed{D}$ 错误．

综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 正确．