每日一题[2950]分割函数

已知函数 $f(x)={\rm e}^x\left(x \ln x+\dfrac{2}{\rm e}\right)$．

1、求函数 $h(x)=f(x)-{\rm e}^x\left(1+\dfrac{2}{\rm e}\right)$ 的单调区间．

2、证明：$f(x)-x>0$．

解析

1、根据题意，函数 $h(x)={\rm e}^x\left(x\ln x-1\right)$，其导函数

$$h'(x)={\rm e}^x(x+1)\ln x,$$ 因此函数 $h(x)$ 的单调递增区间是 $(1,+\infty)$，单调递减区间是 $(0,1)$．

2、即证明

$$x\ln x+\dfrac{2}{\rm e}>\dfrac{x}{{\rm e}^x},$$ 而 $$x\ln x+\dfrac{2}{\rm e}\geqslant \dfrac{1}{\rm e}\geqslant \dfrac{x}{{\rm e}^x},$$ 等号分别当 $x=\dfrac{1}{\rm e}$ 和 $x=1$ 时取得，无法同时取得，因此题中不等式得证．