已知函数 $f(x)=a x-\ln x$ 有两个零点 $x_1, x_2$．
1、求 $a$ 的取值范围．
2、求证：$x_1 x_2>{\rm e}^2$．
解析
1、方程 $f(x)=0$ 等价于\[a=\dfrac{\ln x}{x},\]设 $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，则其导函数\[g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2},\]于是\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0+&(0,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac{1}{\rm e}&\searrow&0\\ \hline \end{array}\]因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$．
2、根据题意，有\[ax_1-\ln x_1=ax_2-\ln x_2=0,\]于是根据对数平均不等式，有\[\sqrt{x_1x_2}<\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=\dfrac 1a<\dfrac{x_1+x_2}2,\]于是\[x_1+x_2>\dfrac 2a,\]而 $x_1=\dfrac{\ln x_1}{a}$，$x_2=\dfrac{\ln x_2}{a}$，于是\[\dfrac{\ln x_1+\ln x_2}a>\dfrac 2a\implies x_1x_2>{\rm e}^2,\]命题得证．