每日一题[2946]极值偏移

已知函数 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^{x-1}}{x^2}-a\left(\ln x+\dfrac{2}{x}\right)$（$a \in\mathbb R$）．

1、若 $a=1$，求 $f(x)$ 的单调区间．

2、若 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 上有两个极值点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$）．

① 求实数 $a$ 的取值范围；

② 求证：$x_1 x_2<1$．

解析

1、当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{(x-2)\left({\rm e}^{x-1}-x\right)}{x^3},$$ 由于 ${\rm e}^{x-1}-x\geqslant 0$，于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(2,+\infty)$，单调递减区间为 $(0,2)$．

2、① 根据题意，有

$$f'(x)=\dfrac{2-x}{x^3}\cdot \left(ax-{\rm e}^{x-1}\right),$$ 于是函数 $g(x)=ax-{\rm e}^{x-1}$ 在 $(0,2)$ 上有两个变号零点，注意到 $$g(x)=0\iff a=\dfrac{{\rm e}^{x-1}}{x},$$ 有 $$g'(x)=\dfrac{{\rm e}^{x-1}(x-1)}{x^2},$$ 于是 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0+&(0,1)&1&(1,2)&2-\\ \hline g(x)&+\infty&\searrow&1&\nearrow&\dfrac{\rm e}2\\ \hline\end{array}$$ 因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(1,\dfrac{\rm e}2\right)$．

② 根据题意，有

$$ax_1-{\rm e}^{x_1-1}=ax_2-{\rm e}^{x_2-1}=0,$$ 进而 $$x_1-\ln x_1=x_2-\ln x_2=1+\ln a,$$ 根据对数平均不等式，有 $$\sqrt{x_1x_2}<\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=1<\dfrac{x_1+x_2}2,$$ 从而 $$x_1x_2<1,\quad x_1+x_2>2,$$ 命题得证．